محاسبه با چهار عمل اصلی در بسیاری از امور روزمره به کار می‌رود. بنابراین اگر بخواهیم از ماشین حساب برای این گونه عملیات استفاده کنیم، ممکن است حتی جمع و تفریق عادی را هم فراموش کنیم. بنابراین بهتر است از چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) بیشتر استفاده کنیم و حتی به کمک روش‌هایی سرعت انجام این گونه محاسبات را در ذهنمان افزایش دهیم. در این نوشتار به ضرب ذهنی و سریع اعداد صحیح میپردازیم و کاربردهای آن را مرور خواهیم کرد. در این بین از اتحادهای جبری که در بیشتر محاسبات جبری استفاده می‌شوند هم بهره می‌بریم.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریعتر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
در این نوشتار قرار است ضرب ذهنی و سریع را براساس مجموعه اعداد صحیح انجام دهیم. به همین منظور برای آشنایی بیشتر با این گونه اعداد بهتر است مطلب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن قواعد بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده به عنوان مقدمه‌ای بر ضرب ذهنی و سریع نیز خالی از لطف نیست.
عمل ضرب و تقسیم از عملیات پایه در ریاضیات محسوب می‌شوند. به همین دلیل در اکثر اوقات احتیاج داریم که چنین محاسباتی را بدون ماشین حساب یا تلفن همراه و به صورت ذهنی انجام دهیم. در این نوشتار با ضرب ذهنی و سریع آشنا می‌شویم. همچنین در مطالب بعدی به موضوع انجام عمل تقسیم ذهنی و سریع، خواهیم پراخت.
همانطور که می‌دانید، عمل ضرب در حقیقت تکرار عمل جمع در مجموعه اعداد صحیح است. بنابراین منظور از ضرب ۷ در عدد ۲، جمع کردن عدد دو به تعداد هفت بار یا جمع کردن عدد هفت به تعداد دو بار است. به تصویر زیر دقت کنید.چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
همانطور که در تصویر بالا مشاهده میکنید، حاصل هفت بار جمع کردن عدد ۲ نشان داده شده است. البته می‌توانیم به صورت عکس نیز عمل کنیم. یعنی حاصل دو بار جمع کردن عدد ۷ را به همین شکل نشان دهیم.
به این ترتیب مشخص است که رابطه زیر برای ضرب این دو عدد، برقرار است.
$$ large 2 times 7 = 7 times 2 = 14 $$
این ویژگی در ضرب به عنوان «خاصیت جابجایی» (Commutative Property of Multiplication) شناخته میشود.
بنابراین با توجه به مشابه بودن ضرب و جمع، از همه قواعدی که برای جمع کردن سریع و ذهنی وجود دارد می‌توانید استفاده کنید. برای مشاهده این قاعده‌ها بهتر است مطلب دیگری از مجله فرادرس با عنوان جمع و تفریق ذهنی — از صفر تا صد را مطالعه کنید.
نکته: توجه داشته باشید که خاصیت جابجایی برای جمع و ضرب وجود داشته، ولی برای تفریق و تقسیم وجود ندارند. به مثالهای زیر دقت کنید.
$$ large 2 – 1 neq 1 – 2 $$
$$ large 1 div 2 neq 2 div 1 $$
یکی از نکات پایه برای ضرب ذهنی، دانستن و شناخت عناصر جدول ضرب (Times Table) است. نمونه یک جدول ضرب ۱۲ تایی را در تصویر زیر مشاهده میکنید.
توجه داشته باشید که با در نظر گرفتن خاصیت جابجایی در ضرب نیازی به حفظ کردن همه عناصر این جدول نیست و برای مثال می‌توانید مثلث بالایی این جدول را به خاطر بسپارید. چنین جدولی در تصویر زیر دیده میشود.
الگوهای مشخصی در این جدول نیز وجود دارد که حفظ کردن آن را ساده‌تر میکند. برای مثال مشخص است که ضرب هر عدد در ۱۰ برابر با اضافه کردن یک صفر به قسمت یکان آن عدد است.
$$ large color{red}{3} times 1color{blue}{0} = color{red}{3} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{10} times 1color{blue}{0} = color{red}{10} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{12} times 1color{blue}{0} = color{red}{12} color{blue}{0} $$
همچنین عمل ضرب هر یک از اعداد جدول ضرب در عدد ۱۱ نیز دارای الگوی خاصی است. کافی است که برای اعداد کوچکتر از ۱۰، رقم را تکرار کنید تا حاصل ضرب آن عدد در ۱۱ بدست آید.
$$ large 1 times 11 = 11 $$
$$ large 2 times 11 = 22 $$
$$ large 3 times 11 = 33 $$
$$ large 4 times 11 = 44 $$
$$ large 5 times 11 = 55 $$
$$ large 7 times 11 = 77 $$
$$ large 8 times 11 = 88 $$
$$ large 9 times 11 = 99 $$
نکته: در بخش دیگری از این متن به بررسی حاصل ضرب اعداد دو رقمی بزرگتر یا مساوی ۱۰ در ۱۱ خواهیم پرداخت و الگویی نیز برای مشخص کردن حاصل ضرب آنها خواهیم یافت.
الگویی نیز برای حاصل ضرب اعداد در ۵ وجود داد. به این ترتیب ضرب‌های مربوط به مضارب ۵ نیز به راحتی به حافظه سپرده می‌شوند.
مثلا اگر بخواهیم حاصل ضرب ۶ در ۵ را محاسبه کنیم، مشخص است که رقم یکان حاصل ضرب، صفر است زیرا ۶ عددی زوج است. همچنین تقسیم ۶ بر ۲ برابر با ۳، پس رقم دهگان نیز ۳ خواهد بود و نتیجه حاصلضرب ۶ در ۵ برابر با ۳۰ محاسبه میشود.
$$ large 1 times 5 = (1 – 1) times 5 + 5 = 0 + 5 = 5 $$
$$ large 2 times 5 = (2 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{1} color{red}{0} $$
$$ large 3 times 5 = (3 – 1) times 5 + 5 = 10 + 5 = 15 $$
$$ large 4 times 5 = (4 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{2} color{red}{0} $$
$$ large 5 times 5 = (5 – 1) times 5 + 5 = 20 + 5 = 25 $$
چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
$$ large 6 times 5 = (6 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{3} color{red}{0} $$
$$ large 7 times 5 = (7 – 1) times 5 + 5 = 30 + 5 = 35 $$
$$ large 8 times 5 = (8 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{4} color{red}{0} $$
$$ large 9 times 5 = (9 – 1) times 5 + 5 = 40 + 5 = 45 $$
$$ large 10 times 5 = (10 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{5} color{red}{0} $$
$$ large 11 times 5 = (11 – 1) times 5 + 5 = 50 + 5 = 55 $$
$$ large 12 times 5 = (12 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{6} color{red}{0} $$
به این ترتیب با توجه به قواعد گفته شده، جدول ضرب را می‌توان با عناصر کمتری به خاطر سپرد.
در این قسمت میخواهیم روش‌هایی را برای ضرب عدد دو رقمی در یک عدد تک رقمی مشخص کنیم. برای انجام این کار به ذکر چند مثال میپردازیم. توجه داشته باشید که در اغلب این مثال‌ها، از روشهای ترکیبی از جمع و ضرب استفاده خواهیم کرد.
دو عدد ۱۷ و ۸ را در نظر بگیرید. حاصل ضرب آنها را به صورت زیر بدست می‌آوریم.
گام اول: ۱۷ را به نزدیکترین عامل جمعی با ۱۰ تبدیل میکنیم، سپس عمل ضرب را انجام می‌دهیم.
$$ large 17 times 8 = ( 10 + 7 ) times 8 $$
گام دوم: از سمت راست، هشت را در پرانتز ضرب میکنیم. این کار به علت داشتن خاصیت پخشی یا توزیع‌پذیری (Distribution) ضرب نسبت به جمع، امکان‌پذیر است.
$$ large (10 + 7 ) times 8 = ( 8 times 10) + (8 times 7) = 80 + 65 $$
گام سوم: رابطه جمع حاصل را به کمک روشهای جمع ذهنی کامل میکنیم.
$$ large 80 + 50 + 6 = 130 + 6 = 136 $$
در این قسمت حاصل ضرب ۷ در ۳۳ را بدست می‌آوریم. ابتدا ۳۳ را تفکیک میکنیم.
گام اول: تفکیک ۳۳ به عاملی از ۱۰
$$ large 7 times 33 = 7 times (30 + 3 ) $$
گام دوم: توزیع ضرب در جمع.
$$ large 7 times (30 + 3 ) = 7 times 30 + 7 times 3 $$
گام سوم: انجام عمل ضرب و جمع‌بندی نتایج حاصل.
$$ large 7 times 30 + 7 times 3 = 210 + 21 = 231 $$
نکته: هنگام ضرب یک عدد در ۱۰ یا توان‌های آن توجه داشته باشید که به تعداد توان‌های ۱۰، رقم صفر در سمت راست عدد ظاهر خواهد شد. برای مثال اگر ۴۵ را در ۱۰ ضرب کنیم، حاصل برابر با ۴۵۰ است که فقط یک صفر در سمت راست عدد ۴۵ ظاهر می‌سازد. به همین ترتیب ضرب ذهنی و سریع عددی در ۱۰۰ یا همان توان دوم ۱۰ باعث میشود که دو صفر در سمت راست آن (در اینجا ۴۵) ظاهر گردد. مشخص است که در اینجا حاصلضرب برابر با ۴۵۰۰ خواهد شد.
این بار یک عدد ۳ رقمی را در یک عدد تک رقمی ضرب خواهیم کرد ولی در حقیقت باز هم از خاصیت شرکت‌پذیری ضرب نسبت به جمع استفاده میکنیم.
گام اول: ۵۶۲ را به صورت مجموع صدگان و دهگان و یکان آن می‌نویسیم.
$$ large 562 times 8 = ( 500 + 60 + 2 ) times 8 $$
گام دوم: از خاصیت توزیع‌پذیری یا پخشی استفاده میکنیم.
$$ large ( 500 + 60 + 2 ) times 8 = 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 $$
گام سوم: ضرب و جمع کردن محاسبات گفته شده و ساده سازی پاسخ‌ها در این مرحله صورت میگیرد.
$$ large 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 = 4000 + 480 + 16 = 4496$$
نکته: هنگام ضرب ۵۰۰ در ۸ به این موضوع توجه داشته باشید که می‌توانیم صفرهای عدد ۵۰۰ را نادیده گرفته و فقط ۵ را در ۸ ضرب کرده، سپس به همان تعداد صفر به سمت راست اضافه کنیم.
در دیگر نوشتارهای مجله فرادرس تحت عنوان اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده با اتحادهای جبری آشنا شده‌اید. بر همین اساس نیز محاسبه عمل ضرب ذهنی و سریع را به سادگی می‌توان انجام داد. ابتدا به بعضی از این اتحادها که در محاسبه ضرب بیشتر کاربرد دارند، اشاره خواهیم کرد.
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مربع دو جمله‌ای: این اتحاد بر اساس مربع جمع یا تفاضل دو عدد مثل $$ a $$ و $$ b $$ نوشته میشود.
نوع اول $$ large (a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 $$
نوع دوم $$ large (a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2 $$
از همین اتحاد برای ضرب یک عدد در خودش می‌توان استفاده کرد. به مثالهای زیر دقت کنید.
حاصل ضرب ۱۱ در ۱۱ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع اول بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۱ را به صورت (10+۱) می‌نویسیم.
$$large 11 times 11 = ( 10 + 1 ) times ( 10 + 1 ) = ( 10 + 1 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times ۱ ) + 1^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه از ضرب ۱۱ در خودش ساده‌تر است. در این صورت داریم.
$$ large 11 times 11 = 10 ^2 + 2 times (10 times 1 ) + 1^2 = 100 + 20 + 1 = 121 $$
حاصل ضرب ۱۲ در ۱۲ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۲ را به صورت (10+2) می‌نویسیم.
$$large 12 times 12 = ( 10 + 2 ) times ( 10 + 2 ) = ( 10 + 2 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه بسیار ساده‌تر از توان رساند ۱۲ خواهد بود. در این صورت داریم.
$$ large 12 times 12 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 = 100 + 40 + 4 = 144 $$
با توجه به اتحاد مربع دو جمله‌ای و مثالهای گفته شده، می‌توان قاعده زیر برای پیدا کردن مربع اعداد بین ۱۰ تا 13 را در نظر گرفت.
حاصل ضرب ۱۳ در ۱۳ را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم.
$$ large 13 times 13 = 100 times 1 + 10 times (2 times 3) + 3 times 3 = 169 $$
حاصل ضرب 14 در 14 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع ۴ برابر است با ۱۶ که دارای یک رقم دهگان است.
$$ large 14 times 14 = 100 times 1 + 10 times (2 times 4) + 4 times 4 = 100 + 80 + 16 = 196 $$
حاصل ضرب 15 در 15 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع 5 برابر است با 25 که دارای یک رقم دهگان برابر با ۲ است.
نتیجه حاصل را به کمک اتحاد جمله مشترک نیز می‌توانیم بدست آوریم.
$$ large 15 times 15 = 100 times 1 + 10 times (2 times 5) + 5 times 5 = 100 + 100 + 25 = 225 $$
حاصل ضرب 1۶ در 1۶ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. یعنی به جای نوشتن عدد به صورت جمع، از شیوه تفاضل استفاده میکنیم.
$$ large 16 times 16 = (20 – 4) times (20 – 4) = 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 $$
که در این صورت خواهیم داشت.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 = 400 – 160 + 16 = 256 $$
حاصل ضرب ۱۷ در ۱۷ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. به این ترتیب ۱۷ را به صورت ۳ – ۲۰ می‌نویسیم.
$$ large 17 times 17 = (20 – 3) times (20 – 3) = 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 $$
بنابراین محاسبه به صورت زیر در خواهد آمد.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 = 400 – 120 + 9 = 289 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مزدوج: این نوع اتحاد برای ضرب دو عدد به کار می‌رود که می‌توان آن را به صورت تفاضل مربع دو عدد دیگر نوشت. فرض کنید $$ a – b $$ و $$ a + b $$ دو عدد باشند. در این صورت طبق اتحاد مزدوج، حاصلضرب این دو عدد به صورت زیر قابل محاسبه است.
$$ large (a – b ) ( a + b ) = a^2 – b^2 $$
بنابراین در مواقعی که دو عدد با فاصله‌ای به اندازه $$ 2b $$ از یکدیگر قرار گرفته‌اند، از این اتحاد برای ضرب کردنشان استفاده خواهیم کرد. به مثال‌هایی زیر توجه کنید.
حاصل ضرب 14 در ۱2 را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۱ + ۱۳ و همچنین ۱۲ را به صورت ۱ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = (13 + 1 ) times ( 13 – 1 ) = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳ داریم، $$ 13 ^ 2 = 169 $$ بنابراین حاصل ضرب ۱۲ در ۱۴ به شکل زیر در خواهد آمد.
$$ large 12 times 14 = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 = 169 – 1 = 168 $$
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. فاصله این دو عدد برابر است با ۴، در نتیجه مقدار $$ b $$ برابر با ۲ خواهد بود. به این ترتیب ۱۵ را به صورت ۲ + ۱۳ و همچنین ۱۱ را به صورت ۲ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 11 times 15 = (13 – 2 ) times ( 13 + 2 ) = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳، نتایج به صورت زیر نوشته می‌شوند.
$$ large 11 times 15 = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 = 169 – 4 = 165 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد جمله مشترک: معمولا برای نمایش جمله مشترک در این اتحاد از نماد $$ x $$ استفاده میشود. شکل کلی اتحاد جمله مشترک به صورت زیر است:
$$ large (x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + x ( a + b ) + ab $$
به این ترتیب از این اتحاد برای ضرب دو عدد که یکی $$ a $$ واحد و دیگری $$ b $$ واحد از $$ x $$ بزرگتر هستند استفاده میکنیم. معمولا $$ x $$ را عددی در نظر می‌گیریم که توان دوم آن به سادگی محاسبه شود.
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. اگر عدد مبنا را ۱۰ در نظر داشته باشیم، مقدار $$ x $$ برابر با ۱۰ و $$ a $$ و $$ b $$ نیز به ترتیب برابر با ۵ و ۱ خواهند بود.
$$ large 15 = 10 + 5 rightarrow a = 5, ;; 11 = 10 + 1 rightarrow b = 1$$
حال حاصلضرب را به این طریق محاسبه میکنیم.
$$ large 11 times 15 = ( 10 + 5 ) times ( 10 + 1 ) = 10 ^ 2 + 10 times (5 + 1 ) + 5 times 1$$
با توجه به ساده‌سازی و جمع جبری خواهیم داشت:
$$ large 11 times 15 = 100 + 60 + 5 = 165 $$
حاصل ضرب 14 در ۱2 را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۴ + ۱۰ و همچنین ۱۲ را به صورت ۲ + ۱۰ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 2 ) = 100 + 10 times ( 4 + 2 ) + 4 times 2 $$
با توجه به ساده‌سازی محاسبات بالا خواهیم داشت:
$$ large 12 times 14 = 100 + 60 + 8 = 168 $$
با توجه به مثالهای گفته شده، قاعده‌ای خاصی را برای ضرب ذهنی و سریع یک عدد دو رقمی ۱۰ تا ۱۹ در ۱۱ به کار می‌بریم. توجه داشته باشید که همیشه می‌توانیم ۱۱ را به صورت ۱۰ + ۱ بنویسیم و عمل ضرب را انجام دهیم. فرض کنید عدد دو رقمی مثلا $$ a $$ را هم به صورت $$ 10 + b $$ نوشته‌ایم که $$ b = a — 10 $$ است. در نتیجه $$ b $$ یک عدد تک رقمی است.
$$ large 11 times a = (10 + 1 ) times (10 + b ) = 10 ^ 2 + 10 times (b + 1 ) + b times 1 = 100 + 10 b + 10 + b = 110 + 11 times b $$
به این ترتیب می‌توانیم قانون زیر را استخراج کنیم.
حاصل ضرب 14 در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 14 times 11 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (4 +1) + 4 = 100 + 50 + 4 = 154 $$
با استفاده از قاعده داریم $$ b = 4 $$ پس
$$ large 11 times 14 = 110 + 11 times 4 = 110 + 44 = 154 $$
حاصل ضرب 1۸ در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 18 times 11 = ( 10 + 8 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (8+1) + 8 = 100 + 90 + 8 = 198 $$
مشخص است که در اینجا $$ a = 18 , b = 18 – 10 = 8 $$ خواهد بود. پس با توجه به قاعده گفته شده خواهیم داشت:
$$ large 18 times 11 = 110 + 88 = 198 $$
حاصل ضرب 1۹ در ۱۱ نیز از قاعده گفته شده تبعیت میکند. و همچنین باز هم می‌توانیم از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم.
$$ large 19 times 11 = ( 10 + 9 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times ( 9 + 1 ) + 9 = 100 + 100 + 9 = 209 $$
یا $$ b = 9 $$، پس:
$$ large 19 times 11 = 110 + 11 times 9 = 110 + 99 = 209 $$
نکات بیشتر و کامل برای انجام محاسبات ذهنی و سریع در ریاضیات در آموزش ویدیوی آموزش محاسبات سریع ریاضی قابل مشاهده است.
در این آموزش برای انجام محاسبات سریع و ذهنی، روش‌هایی معرفی می‌شوند که در اکثر موارد ساده بوده و به راحتی قابل انجام به صورت ذهنی یا با کمک کاغذ و قلم هستند. این روشها، شما را در کسب امتیاز برتر در آزمون‌هایی که امکان استفاده از ماشین حساب را ندارید، یاری می‌کنند.
در فصل اول این آموزش روشهای محاسباتی برای انجام عمل ضرب مورد بحث قرار میگیرد. در فصل دوم نیز موضوع ضرب ذهنی و سریع آموزش داده میشود. فصل سوم نیز به جمع و تفریق اعداد پرداخته شده و لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد اشاره قرار میگیرد. فصل پنجم محاسبات توابع مثلثاتی را به صورت ساده و سریع آموزش می‌دهد. در فصل ششم نیز محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد معرفی می‌شوند.
در این نوشتار به بررسی ضرب ذهنی و سریع پرداختیم. در این بین استفاده از اتحادهای ریاضی، می‌تواند بسیاری از عملیات ضرب را برایمان ساده‌تر کرده و سرعت انجام محاسبات را بهبود بخشند. شاید استفاده از اتحادها و روشهای معرفی شده در این نوشتار کمی مشکل و پیچیده به نظر برسند ولی با تمرین می‌توانید هر روز بهتر و بهتر شده و با اعتماد به نفس محاسبات ضرب ذهنی و سریع را انجام دهید.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
آرمان ری بد (+)
«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه میکند.
بر اساس رای 38 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
قبل از مثال ۱۵ قاعده ای که استخراج کردید با نتایج نمیخونه.باید یکان رو خود b گرفت و برای دهگان اگه b بزرگتر از ۵بود یک واحد اضافه بشه.
سلام و وقت بخیر،
از این که همراه مجله فرادرس هستید و مطالب آن را با دقت مطالعه میکنید، بسیار سپاسگزاریم.
نظر شما در مورد تصحص قاعده ضرب در یازده، کامل صحیح بود و مطلب به روزآوری شد.
از این که مجله فرادرس خواننده فهیم مانند شما دارد، خرسنیدم.
پیروز و سربلند باشید.
نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *
سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.
فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر
هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.
© فرادرس ۱۳۹۹
محاسبه با چهار عمل اصلی در بسیاری از امور روزمره به کار می‌رود. بنابراین اگر بخواهیم از ماشین حساب برای این گونه عملیات استفاده کنیم، ممکن است حتی جمع و تفریق عادی را هم فراموش کنیم. بنابراین بهتر است از چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) بیشتر استفاده کنیم و حتی به کمک روش‌هایی سرعت انجام این گونه محاسبات را در ذهنمان افزایش دهیم. در این نوشتار به ضرب ذهنی و سریع اعداد صحیح میپردازیم و کاربردهای آن را مرور خواهیم کرد. در این بین از اتحادهای جبری که در بیشتر محاسبات جبری استفاده می‌شوند هم بهره می‌بریم.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریعتر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
در این نوشتار قرار است ضرب ذهنی و سریع را براساس مجموعه اعداد صحیح انجام دهیم. به همین منظور برای آشنایی بیشتر با این گونه اعداد بهتر است مطلب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن قواعد بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده به عنوان مقدمه‌ای بر ضرب ذهنی و سریع نیز خالی از لطف نیست.
عمل ضرب و تقسیم از عملیات پایه در ریاضیات محسوب می‌شوند. به همین دلیل در اکثر اوقات احتیاج داریم که چنین محاسباتی را بدون ماشین حساب یا تلفن همراه و به صورت ذهنی انجام دهیم. در این نوشتار با ضرب ذهنی و سریع آشنا می‌شویم. همچنین در مطالب بعدی به موضوع انجام عمل تقسیم ذهنی و سریع، خواهیم پراخت.
همانطور که می‌دانید، عمل ضرب در حقیقت تکرار عمل جمع در مجموعه اعداد صحیح است. بنابراین منظور از ضرب ۷ در عدد ۲، جمع کردن عدد دو به تعداد هفت بار یا جمع کردن عدد هفت به تعداد دو بار است. به تصویر زیر دقت کنید.چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
همانطور که در تصویر بالا مشاهده میکنید، حاصل هفت بار جمع کردن عدد ۲ نشان داده شده است. البته می‌توانیم به صورت عکس نیز عمل کنیم. یعنی حاصل دو بار جمع کردن عدد ۷ را به همین شکل نشان دهیم.
به این ترتیب مشخص است که رابطه زیر برای ضرب این دو عدد، برقرار است.
$$ large 2 times 7 = 7 times 2 = 14 $$
این ویژگی در ضرب به عنوان «خاصیت جابجایی» (Commutative Property of Multiplication) شناخته میشود.
بنابراین با توجه به مشابه بودن ضرب و جمع، از همه قواعدی که برای جمع کردن سریع و ذهنی وجود دارد می‌توانید استفاده کنید. برای مشاهده این قاعده‌ها بهتر است مطلب دیگری از مجله فرادرس با عنوان جمع و تفریق ذهنی — از صفر تا صد را مطالعه کنید.
نکته: توجه داشته باشید که خاصیت جابجایی برای جمع و ضرب وجود داشته، ولی برای تفریق و تقسیم وجود ندارند. به مثالهای زیر دقت کنید.
$$ large 2 – 1 neq 1 – 2 $$
$$ large 1 div 2 neq 2 div 1 $$
یکی از نکات پایه برای ضرب ذهنی، دانستن و شناخت عناصر جدول ضرب (Times Table) است. نمونه یک جدول ضرب ۱۲ تایی را در تصویر زیر مشاهده میکنید.
توجه داشته باشید که با در نظر گرفتن خاصیت جابجایی در ضرب نیازی به حفظ کردن همه عناصر این جدول نیست و برای مثال می‌توانید مثلث بالایی این جدول را به خاطر بسپارید. چنین جدولی در تصویر زیر دیده میشود.
الگوهای مشخصی در این جدول نیز وجود دارد که حفظ کردن آن را ساده‌تر میکند. برای مثال مشخص است که ضرب هر عدد در ۱۰ برابر با اضافه کردن یک صفر به قسمت یکان آن عدد است.
$$ large color{red}{3} times 1color{blue}{0} = color{red}{3} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{10} times 1color{blue}{0} = color{red}{10} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{12} times 1color{blue}{0} = color{red}{12} color{blue}{0} $$
همچنین عمل ضرب هر یک از اعداد جدول ضرب در عدد ۱۱ نیز دارای الگوی خاصی است. کافی است که برای اعداد کوچکتر از ۱۰، رقم را تکرار کنید تا حاصل ضرب آن عدد در ۱۱ بدست آید.
$$ large 1 times 11 = 11 $$
$$ large 2 times 11 = 22 $$
$$ large 3 times 11 = 33 $$
$$ large 4 times 11 = 44 $$
$$ large 5 times 11 = 55 $$
$$ large 7 times 11 = 77 $$
$$ large 8 times 11 = 88 $$
$$ large 9 times 11 = 99 $$
نکته: در بخش دیگری از این متن به بررسی حاصل ضرب اعداد دو رقمی بزرگتر یا مساوی ۱۰ در ۱۱ خواهیم پرداخت و الگویی نیز برای مشخص کردن حاصل ضرب آنها خواهیم یافت.
الگویی نیز برای حاصل ضرب اعداد در ۵ وجود داد. به این ترتیب ضرب‌های مربوط به مضارب ۵ نیز به راحتی به حافظه سپرده می‌شوند.
مثلا اگر بخواهیم حاصل ضرب ۶ در ۵ را محاسبه کنیم، مشخص است که رقم یکان حاصل ضرب، صفر است زیرا ۶ عددی زوج است. همچنین تقسیم ۶ بر ۲ برابر با ۳، پس رقم دهگان نیز ۳ خواهد بود و نتیجه حاصلضرب ۶ در ۵ برابر با ۳۰ محاسبه میشود.
$$ large 1 times 5 = (1 – 1) times 5 + 5 = 0 + 5 = 5 $$
$$ large 2 times 5 = (2 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{1} color{red}{0} $$
$$ large 3 times 5 = (3 – 1) times 5 + 5 = 10 + 5 = 15 $$
$$ large 4 times 5 = (4 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{2} color{red}{0} $$
$$ large 5 times 5 = (5 – 1) times 5 + 5 = 20 + 5 = 25 $$
چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
$$ large 6 times 5 = (6 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{3} color{red}{0} $$
$$ large 7 times 5 = (7 – 1) times 5 + 5 = 30 + 5 = 35 $$
$$ large 8 times 5 = (8 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{4} color{red}{0} $$
$$ large 9 times 5 = (9 – 1) times 5 + 5 = 40 + 5 = 45 $$
$$ large 10 times 5 = (10 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{5} color{red}{0} $$
$$ large 11 times 5 = (11 – 1) times 5 + 5 = 50 + 5 = 55 $$
$$ large 12 times 5 = (12 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{6} color{red}{0} $$
به این ترتیب با توجه به قواعد گفته شده، جدول ضرب را می‌توان با عناصر کمتری به خاطر سپرد.
در این قسمت میخواهیم روش‌هایی را برای ضرب عدد دو رقمی در یک عدد تک رقمی مشخص کنیم. برای انجام این کار به ذکر چند مثال میپردازیم. توجه داشته باشید که در اغلب این مثال‌ها، از روشهای ترکیبی از جمع و ضرب استفاده خواهیم کرد.
دو عدد ۱۷ و ۸ را در نظر بگیرید. حاصل ضرب آنها را به صورت زیر بدست می‌آوریم.
گام اول: ۱۷ را به نزدیکترین عامل جمعی با ۱۰ تبدیل میکنیم، سپس عمل ضرب را انجام می‌دهیم.
$$ large 17 times 8 = ( 10 + 7 ) times 8 $$
گام دوم: از سمت راست، هشت را در پرانتز ضرب میکنیم. این کار به علت داشتن خاصیت پخشی یا توزیع‌پذیری (Distribution) ضرب نسبت به جمع، امکان‌پذیر است.
$$ large (10 + 7 ) times 8 = ( 8 times 10) + (8 times 7) = 80 + 65 $$
گام سوم: رابطه جمع حاصل را به کمک روشهای جمع ذهنی کامل میکنیم.
$$ large 80 + 50 + 6 = 130 + 6 = 136 $$
در این قسمت حاصل ضرب ۷ در ۳۳ را بدست می‌آوریم. ابتدا ۳۳ را تفکیک میکنیم.
گام اول: تفکیک ۳۳ به عاملی از ۱۰
$$ large 7 times 33 = 7 times (30 + 3 ) $$
گام دوم: توزیع ضرب در جمع.
$$ large 7 times (30 + 3 ) = 7 times 30 + 7 times 3 $$
گام سوم: انجام عمل ضرب و جمع‌بندی نتایج حاصل.
$$ large 7 times 30 + 7 times 3 = 210 + 21 = 231 $$
نکته: هنگام ضرب یک عدد در ۱۰ یا توان‌های آن توجه داشته باشید که به تعداد توان‌های ۱۰، رقم صفر در سمت راست عدد ظاهر خواهد شد. برای مثال اگر ۴۵ را در ۱۰ ضرب کنیم، حاصل برابر با ۴۵۰ است که فقط یک صفر در سمت راست عدد ۴۵ ظاهر می‌سازد. به همین ترتیب ضرب ذهنی و سریع عددی در ۱۰۰ یا همان توان دوم ۱۰ باعث میشود که دو صفر در سمت راست آن (در اینجا ۴۵) ظاهر گردد. مشخص است که در اینجا حاصلضرب برابر با ۴۵۰۰ خواهد شد.
این بار یک عدد ۳ رقمی را در یک عدد تک رقمی ضرب خواهیم کرد ولی در حقیقت باز هم از خاصیت شرکت‌پذیری ضرب نسبت به جمع استفاده میکنیم.
گام اول: ۵۶۲ را به صورت مجموع صدگان و دهگان و یکان آن می‌نویسیم.
$$ large 562 times 8 = ( 500 + 60 + 2 ) times 8 $$
گام دوم: از خاصیت توزیع‌پذیری یا پخشی استفاده میکنیم.
$$ large ( 500 + 60 + 2 ) times 8 = 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 $$
گام سوم: ضرب و جمع کردن محاسبات گفته شده و ساده سازی پاسخ‌ها در این مرحله صورت میگیرد.
$$ large 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 = 4000 + 480 + 16 = 4496$$
نکته: هنگام ضرب ۵۰۰ در ۸ به این موضوع توجه داشته باشید که می‌توانیم صفرهای عدد ۵۰۰ را نادیده گرفته و فقط ۵ را در ۸ ضرب کرده، سپس به همان تعداد صفر به سمت راست اضافه کنیم.
در دیگر نوشتارهای مجله فرادرس تحت عنوان اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده با اتحادهای جبری آشنا شده‌اید. بر همین اساس نیز محاسبه عمل ضرب ذهنی و سریع را به سادگی می‌توان انجام داد. ابتدا به بعضی از این اتحادها که در محاسبه ضرب بیشتر کاربرد دارند، اشاره خواهیم کرد.
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مربع دو جمله‌ای: این اتحاد بر اساس مربع جمع یا تفاضل دو عدد مثل $$ a $$ و $$ b $$ نوشته میشود.
نوع اول $$ large (a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 $$
نوع دوم $$ large (a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2 $$
از همین اتحاد برای ضرب یک عدد در خودش می‌توان استفاده کرد. به مثالهای زیر دقت کنید.
حاصل ضرب ۱۱ در ۱۱ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع اول بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۱ را به صورت (10+۱) می‌نویسیم.
$$large 11 times 11 = ( 10 + 1 ) times ( 10 + 1 ) = ( 10 + 1 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times ۱ ) + 1^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه از ضرب ۱۱ در خودش ساده‌تر است. در این صورت داریم.
$$ large 11 times 11 = 10 ^2 + 2 times (10 times 1 ) + 1^2 = 100 + 20 + 1 = 121 $$
حاصل ضرب ۱۲ در ۱۲ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۲ را به صورت (10+2) می‌نویسیم.
$$large 12 times 12 = ( 10 + 2 ) times ( 10 + 2 ) = ( 10 + 2 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه بسیار ساده‌تر از توان رساند ۱۲ خواهد بود. در این صورت داریم.
$$ large 12 times 12 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 = 100 + 40 + 4 = 144 $$
با توجه به اتحاد مربع دو جمله‌ای و مثالهای گفته شده، می‌توان قاعده زیر برای پیدا کردن مربع اعداد بین ۱۰ تا 13 را در نظر گرفت.
حاصل ضرب ۱۳ در ۱۳ را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم.
$$ large 13 times 13 = 100 times 1 + 10 times (2 times 3) + 3 times 3 = 169 $$
حاصل ضرب 14 در 14 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع ۴ برابر است با ۱۶ که دارای یک رقم دهگان است.
$$ large 14 times 14 = 100 times 1 + 10 times (2 times 4) + 4 times 4 = 100 + 80 + 16 = 196 $$
حاصل ضرب 15 در 15 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع 5 برابر است با 25 که دارای یک رقم دهگان برابر با ۲ است.
نتیجه حاصل را به کمک اتحاد جمله مشترک نیز می‌توانیم بدست آوریم.
$$ large 15 times 15 = 100 times 1 + 10 times (2 times 5) + 5 times 5 = 100 + 100 + 25 = 225 $$
حاصل ضرب 1۶ در 1۶ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. یعنی به جای نوشتن عدد به صورت جمع، از شیوه تفاضل استفاده میکنیم.
$$ large 16 times 16 = (20 – 4) times (20 – 4) = 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 $$
که در این صورت خواهیم داشت.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 = 400 – 160 + 16 = 256 $$
حاصل ضرب ۱۷ در ۱۷ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. به این ترتیب ۱۷ را به صورت ۳ – ۲۰ می‌نویسیم.
$$ large 17 times 17 = (20 – 3) times (20 – 3) = 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 $$
بنابراین محاسبه به صورت زیر در خواهد آمد.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 = 400 – 120 + 9 = 289 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مزدوج: این نوع اتحاد برای ضرب دو عدد به کار می‌رود که می‌توان آن را به صورت تفاضل مربع دو عدد دیگر نوشت. فرض کنید $$ a – b $$ و $$ a + b $$ دو عدد باشند. در این صورت طبق اتحاد مزدوج، حاصلضرب این دو عدد به صورت زیر قابل محاسبه است.
$$ large (a – b ) ( a + b ) = a^2 – b^2 $$
بنابراین در مواقعی که دو عدد با فاصله‌ای به اندازه $$ 2b $$ از یکدیگر قرار گرفته‌اند، از این اتحاد برای ضرب کردنشان استفاده خواهیم کرد. به مثال‌هایی زیر توجه کنید.
حاصل ضرب 14 در ۱2 را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۱ + ۱۳ و همچنین ۱۲ را به صورت ۱ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = (13 + 1 ) times ( 13 – 1 ) = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳ داریم، $$ 13 ^ 2 = 169 $$ بنابراین حاصل ضرب ۱۲ در ۱۴ به شکل زیر در خواهد آمد.
$$ large 12 times 14 = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 = 169 – 1 = 168 $$
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. فاصله این دو عدد برابر است با ۴، در نتیجه مقدار $$ b $$ برابر با ۲ خواهد بود. به این ترتیب ۱۵ را به صورت ۲ + ۱۳ و همچنین ۱۱ را به صورت ۲ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 11 times 15 = (13 – 2 ) times ( 13 + 2 ) = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳، نتایج به صورت زیر نوشته می‌شوند.
$$ large 11 times 15 = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 = 169 – 4 = 165 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد جمله مشترک: معمولا برای نمایش جمله مشترک در این اتحاد از نماد $$ x $$ استفاده میشود. شکل کلی اتحاد جمله مشترک به صورت زیر است:
$$ large (x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + x ( a + b ) + ab $$
به این ترتیب از این اتحاد برای ضرب دو عدد که یکی $$ a $$ واحد و دیگری $$ b $$ واحد از $$ x $$ بزرگتر هستند استفاده میکنیم. معمولا $$ x $$ را عددی در نظر می‌گیریم که توان دوم آن به سادگی محاسبه شود.
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. اگر عدد مبنا را ۱۰ در نظر داشته باشیم، مقدار $$ x $$ برابر با ۱۰ و $$ a $$ و $$ b $$ نیز به ترتیب برابر با ۵ و ۱ خواهند بود.
$$ large 15 = 10 + 5 rightarrow a = 5, ;; 11 = 10 + 1 rightarrow b = 1$$
حال حاصلضرب را به این طریق محاسبه میکنیم.
$$ large 11 times 15 = ( 10 + 5 ) times ( 10 + 1 ) = 10 ^ 2 + 10 times (5 + 1 ) + 5 times 1$$
با توجه به ساده‌سازی و جمع جبری خواهیم داشت:
$$ large 11 times 15 = 100 + 60 + 5 = 165 $$
حاصل ضرب 14 در ۱2 را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۴ + ۱۰ و همچنین ۱۲ را به صورت ۲ + ۱۰ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 2 ) = 100 + 10 times ( 4 + 2 ) + 4 times 2 $$
با توجه به ساده‌سازی محاسبات بالا خواهیم داشت:
$$ large 12 times 14 = 100 + 60 + 8 = 168 $$
با توجه به مثالهای گفته شده، قاعده‌ای خاصی را برای ضرب ذهنی و سریع یک عدد دو رقمی ۱۰ تا ۱۹ در ۱۱ به کار می‌بریم. توجه داشته باشید که همیشه می‌توانیم ۱۱ را به صورت ۱۰ + ۱ بنویسیم و عمل ضرب را انجام دهیم. فرض کنید عدد دو رقمی مثلا $$ a $$ را هم به صورت $$ 10 + b $$ نوشته‌ایم که $$ b = a — 10 $$ است. در نتیجه $$ b $$ یک عدد تک رقمی است.
$$ large 11 times a = (10 + 1 ) times (10 + b ) = 10 ^ 2 + 10 times (b + 1 ) + b times 1 = 100 + 10 b + 10 + b = 110 + 11 times b $$
به این ترتیب می‌توانیم قانون زیر را استخراج کنیم.
حاصل ضرب 14 در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 14 times 11 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (4 +1) + 4 = 100 + 50 + 4 = 154 $$
با استفاده از قاعده داریم $$ b = 4 $$ پس
$$ large 11 times 14 = 110 + 11 times 4 = 110 + 44 = 154 $$
حاصل ضرب 1۸ در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 18 times 11 = ( 10 + 8 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (8+1) + 8 = 100 + 90 + 8 = 198 $$
مشخص است که در اینجا $$ a = 18 , b = 18 – 10 = 8 $$ خواهد بود. پس با توجه به قاعده گفته شده خواهیم داشت:
$$ large 18 times 11 = 110 + 88 = 198 $$
حاصل ضرب 1۹ در ۱۱ نیز از قاعده گفته شده تبعیت میکند. و همچنین باز هم می‌توانیم از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم.
$$ large 19 times 11 = ( 10 + 9 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times ( 9 + 1 ) + 9 = 100 + 100 + 9 = 209 $$
یا $$ b = 9 $$، پس:
$$ large 19 times 11 = 110 + 11 times 9 = 110 + 99 = 209 $$
نکات بیشتر و کامل برای انجام محاسبات ذهنی و سریع در ریاضیات در آموزش ویدیوی آموزش محاسبات سریع ریاضی قابل مشاهده است.
در این آموزش برای انجام محاسبات سریع و ذهنی، روش‌هایی معرفی می‌شوند که در اکثر موارد ساده بوده و به راحتی قابل انجام به صورت ذهنی یا با کمک کاغذ و قلم هستند. این روشها، شما را در کسب امتیاز برتر در آزمون‌هایی که امکان استفاده از ماشین حساب را ندارید، یاری می‌کنند.
در فصل اول این آموزش روشهای محاسباتی برای انجام عمل ضرب مورد بحث قرار میگیرد. در فصل دوم نیز موضوع ضرب ذهنی و سریع آموزش داده میشود. فصل سوم نیز به جمع و تفریق اعداد پرداخته شده و لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد اشاره قرار میگیرد. فصل پنجم محاسبات توابع مثلثاتی را به صورت ساده و سریع آموزش می‌دهد. در فصل ششم نیز محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد معرفی می‌شوند.
در این نوشتار به بررسی ضرب ذهنی و سریع پرداختیم. در این بین استفاده از اتحادهای ریاضی، می‌تواند بسیاری از عملیات ضرب را برایمان ساده‌تر کرده و سرعت انجام محاسبات را بهبود بخشند. شاید استفاده از اتحادها و روشهای معرفی شده در این نوشتار کمی مشکل و پیچیده به نظر برسند ولی با تمرین می‌توانید هر روز بهتر و بهتر شده و با اعتماد به نفس محاسبات ضرب ذهنی و سریع را انجام دهید.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
آرمان ری بد (+)
«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه میکند.
بر اساس رای 38 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
قبل از مثال ۱۵ قاعده ای که استخراج کردید با نتایج نمیخونه.باید یکان رو خود b گرفت و برای دهگان اگه b بزرگتر از ۵بود یک واحد اضافه بشه.
سلام و وقت بخیر،
از این که همراه مجله فرادرس هستید و مطالب آن را با دقت مطالعه میکنید، بسیار سپاسگزاریم.
نظر شما در مورد تصحص قاعده ضرب در یازده، کامل صحیح بود و مطلب به روزآوری شد.
از این که مجله فرادرس خواننده فهیم مانند شما دارد، خرسنیدم.
پیروز و سربلند باشید.
نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *
سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.
فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر
هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.
© فرادرس ۱۳۹۹
محاسبه با چهار عمل اصلی در بسیاری از امور روزمره به کار می‌رود. بنابراین اگر بخواهیم از ماشین حساب برای این گونه عملیات استفاده کنیم، ممکن است حتی جمع و تفریق عادی را هم فراموش کنیم. بنابراین بهتر است از چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) بیشتر استفاده کنیم و حتی به کمک روش‌هایی سرعت انجام این گونه محاسبات را در ذهنمان افزایش دهیم. در این نوشتار به ضرب ذهنی و سریع اعداد صحیح میپردازیم و کاربردهای آن را مرور خواهیم کرد. در این بین از اتحادهای جبری که در بیشتر محاسبات جبری استفاده می‌شوند هم بهره می‌بریم.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریعتر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
در این نوشتار قرار است ضرب ذهنی و سریع را براساس مجموعه اعداد صحیح انجام دهیم. به همین منظور برای آشنایی بیشتر با این گونه اعداد بهتر است مطلب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن قواعد بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده به عنوان مقدمه‌ای بر ضرب ذهنی و سریع نیز خالی از لطف نیست.
عمل ضرب و تقسیم از عملیات پایه در ریاضیات محسوب می‌شوند. به همین دلیل در اکثر اوقات احتیاج داریم که چنین محاسباتی را بدون ماشین حساب یا تلفن همراه و به صورت ذهنی انجام دهیم. در این نوشتار با ضرب ذهنی و سریع آشنا می‌شویم. همچنین در مطالب بعدی به موضوع انجام عمل تقسیم ذهنی و سریع، خواهیم پراخت.
همانطور که می‌دانید، عمل ضرب در حقیقت تکرار عمل جمع در مجموعه اعداد صحیح است. بنابراین منظور از ضرب ۷ در عدد ۲، جمع کردن عدد دو به تعداد هفت بار یا جمع کردن عدد هفت به تعداد دو بار است. به تصویر زیر دقت کنید.چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
همانطور که در تصویر بالا مشاهده میکنید، حاصل هفت بار جمع کردن عدد ۲ نشان داده شده است. البته می‌توانیم به صورت عکس نیز عمل کنیم. یعنی حاصل دو بار جمع کردن عدد ۷ را به همین شکل نشان دهیم.
به این ترتیب مشخص است که رابطه زیر برای ضرب این دو عدد، برقرار است.
$$ large 2 times 7 = 7 times 2 = 14 $$
این ویژگی در ضرب به عنوان «خاصیت جابجایی» (Commutative Property of Multiplication) شناخته میشود.
بنابراین با توجه به مشابه بودن ضرب و جمع، از همه قواعدی که برای جمع کردن سریع و ذهنی وجود دارد می‌توانید استفاده کنید. برای مشاهده این قاعده‌ها بهتر است مطلب دیگری از مجله فرادرس با عنوان جمع و تفریق ذهنی — از صفر تا صد را مطالعه کنید.
نکته: توجه داشته باشید که خاصیت جابجایی برای جمع و ضرب وجود داشته، ولی برای تفریق و تقسیم وجود ندارند. به مثالهای زیر دقت کنید.
$$ large 2 – 1 neq 1 – 2 $$
$$ large 1 div 2 neq 2 div 1 $$
یکی از نکات پایه برای ضرب ذهنی، دانستن و شناخت عناصر جدول ضرب (Times Table) است. نمونه یک جدول ضرب ۱۲ تایی را در تصویر زیر مشاهده میکنید.
توجه داشته باشید که با در نظر گرفتن خاصیت جابجایی در ضرب نیازی به حفظ کردن همه عناصر این جدول نیست و برای مثال می‌توانید مثلث بالایی این جدول را به خاطر بسپارید. چنین جدولی در تصویر زیر دیده میشود.
الگوهای مشخصی در این جدول نیز وجود دارد که حفظ کردن آن را ساده‌تر میکند. برای مثال مشخص است که ضرب هر عدد در ۱۰ برابر با اضافه کردن یک صفر به قسمت یکان آن عدد است.
$$ large color{red}{3} times 1color{blue}{0} = color{red}{3} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{10} times 1color{blue}{0} = color{red}{10} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{12} times 1color{blue}{0} = color{red}{12} color{blue}{0} $$
همچنین عمل ضرب هر یک از اعداد جدول ضرب در عدد ۱۱ نیز دارای الگوی خاصی است. کافی است که برای اعداد کوچکتر از ۱۰، رقم را تکرار کنید تا حاصل ضرب آن عدد در ۱۱ بدست آید.
$$ large 1 times 11 = 11 $$
$$ large 2 times 11 = 22 $$
$$ large 3 times 11 = 33 $$
$$ large 4 times 11 = 44 $$
$$ large 5 times 11 = 55 $$
$$ large 7 times 11 = 77 $$
$$ large 8 times 11 = 88 $$
$$ large 9 times 11 = 99 $$
نکته: در بخش دیگری از این متن به بررسی حاصل ضرب اعداد دو رقمی بزرگتر یا مساوی ۱۰ در ۱۱ خواهیم پرداخت و الگویی نیز برای مشخص کردن حاصل ضرب آنها خواهیم یافت.
الگویی نیز برای حاصل ضرب اعداد در ۵ وجود داد. به این ترتیب ضرب‌های مربوط به مضارب ۵ نیز به راحتی به حافظه سپرده می‌شوند.
مثلا اگر بخواهیم حاصل ضرب ۶ در ۵ را محاسبه کنیم، مشخص است که رقم یکان حاصل ضرب، صفر است زیرا ۶ عددی زوج است. همچنین تقسیم ۶ بر ۲ برابر با ۳، پس رقم دهگان نیز ۳ خواهد بود و نتیجه حاصلضرب ۶ در ۵ برابر با ۳۰ محاسبه میشود.
$$ large 1 times 5 = (1 – 1) times 5 + 5 = 0 + 5 = 5 $$
$$ large 2 times 5 = (2 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{1} color{red}{0} $$
$$ large 3 times 5 = (3 – 1) times 5 + 5 = 10 + 5 = 15 $$
$$ large 4 times 5 = (4 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{2} color{red}{0} $$
$$ large 5 times 5 = (5 – 1) times 5 + 5 = 20 + 5 = 25 $$
چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
$$ large 6 times 5 = (6 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{3} color{red}{0} $$
$$ large 7 times 5 = (7 – 1) times 5 + 5 = 30 + 5 = 35 $$
$$ large 8 times 5 = (8 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{4} color{red}{0} $$
$$ large 9 times 5 = (9 – 1) times 5 + 5 = 40 + 5 = 45 $$
$$ large 10 times 5 = (10 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{5} color{red}{0} $$
$$ large 11 times 5 = (11 – 1) times 5 + 5 = 50 + 5 = 55 $$
$$ large 12 times 5 = (12 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{6} color{red}{0} $$
به این ترتیب با توجه به قواعد گفته شده، جدول ضرب را می‌توان با عناصر کمتری به خاطر سپرد.
در این قسمت میخواهیم روش‌هایی را برای ضرب عدد دو رقمی در یک عدد تک رقمی مشخص کنیم. برای انجام این کار به ذکر چند مثال میپردازیم. توجه داشته باشید که در اغلب این مثال‌ها، از روشهای ترکیبی از جمع و ضرب استفاده خواهیم کرد.
دو عدد ۱۷ و ۸ را در نظر بگیرید. حاصل ضرب آنها را به صورت زیر بدست می‌آوریم.
گام اول: ۱۷ را به نزدیکترین عامل جمعی با ۱۰ تبدیل میکنیم، سپس عمل ضرب را انجام می‌دهیم.
$$ large 17 times 8 = ( 10 + 7 ) times 8 $$
گام دوم: از سمت راست، هشت را در پرانتز ضرب میکنیم. این کار به علت داشتن خاصیت پخشی یا توزیع‌پذیری (Distribution) ضرب نسبت به جمع، امکان‌پذیر است.
$$ large (10 + 7 ) times 8 = ( 8 times 10) + (8 times 7) = 80 + 65 $$
گام سوم: رابطه جمع حاصل را به کمک روشهای جمع ذهنی کامل میکنیم.
$$ large 80 + 50 + 6 = 130 + 6 = 136 $$
در این قسمت حاصل ضرب ۷ در ۳۳ را بدست می‌آوریم. ابتدا ۳۳ را تفکیک میکنیم.
گام اول: تفکیک ۳۳ به عاملی از ۱۰
$$ large 7 times 33 = 7 times (30 + 3 ) $$
گام دوم: توزیع ضرب در جمع.
$$ large 7 times (30 + 3 ) = 7 times 30 + 7 times 3 $$
گام سوم: انجام عمل ضرب و جمع‌بندی نتایج حاصل.
$$ large 7 times 30 + 7 times 3 = 210 + 21 = 231 $$
نکته: هنگام ضرب یک عدد در ۱۰ یا توان‌های آن توجه داشته باشید که به تعداد توان‌های ۱۰، رقم صفر در سمت راست عدد ظاهر خواهد شد. برای مثال اگر ۴۵ را در ۱۰ ضرب کنیم، حاصل برابر با ۴۵۰ است که فقط یک صفر در سمت راست عدد ۴۵ ظاهر می‌سازد. به همین ترتیب ضرب ذهنی و سریع عددی در ۱۰۰ یا همان توان دوم ۱۰ باعث میشود که دو صفر در سمت راست آن (در اینجا ۴۵) ظاهر گردد. مشخص است که در اینجا حاصلضرب برابر با ۴۵۰۰ خواهد شد.
این بار یک عدد ۳ رقمی را در یک عدد تک رقمی ضرب خواهیم کرد ولی در حقیقت باز هم از خاصیت شرکت‌پذیری ضرب نسبت به جمع استفاده میکنیم.
گام اول: ۵۶۲ را به صورت مجموع صدگان و دهگان و یکان آن می‌نویسیم.
$$ large 562 times 8 = ( 500 + 60 + 2 ) times 8 $$
گام دوم: از خاصیت توزیع‌پذیری یا پخشی استفاده میکنیم.
$$ large ( 500 + 60 + 2 ) times 8 = 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 $$
گام سوم: ضرب و جمع کردن محاسبات گفته شده و ساده سازی پاسخ‌ها در این مرحله صورت میگیرد.
$$ large 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 = 4000 + 480 + 16 = 4496$$
نکته: هنگام ضرب ۵۰۰ در ۸ به این موضوع توجه داشته باشید که می‌توانیم صفرهای عدد ۵۰۰ را نادیده گرفته و فقط ۵ را در ۸ ضرب کرده، سپس به همان تعداد صفر به سمت راست اضافه کنیم.
در دیگر نوشتارهای مجله فرادرس تحت عنوان اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده با اتحادهای جبری آشنا شده‌اید. بر همین اساس نیز محاسبه عمل ضرب ذهنی و سریع را به سادگی می‌توان انجام داد. ابتدا به بعضی از این اتحادها که در محاسبه ضرب بیشتر کاربرد دارند، اشاره خواهیم کرد.
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مربع دو جمله‌ای: این اتحاد بر اساس مربع جمع یا تفاضل دو عدد مثل $$ a $$ و $$ b $$ نوشته میشود.
نوع اول $$ large (a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 $$
نوع دوم $$ large (a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2 $$
از همین اتحاد برای ضرب یک عدد در خودش می‌توان استفاده کرد. به مثالهای زیر دقت کنید.
حاصل ضرب ۱۱ در ۱۱ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع اول بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۱ را به صورت (10+۱) می‌نویسیم.
$$large 11 times 11 = ( 10 + 1 ) times ( 10 + 1 ) = ( 10 + 1 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times ۱ ) + 1^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه از ضرب ۱۱ در خودش ساده‌تر است. در این صورت داریم.
$$ large 11 times 11 = 10 ^2 + 2 times (10 times 1 ) + 1^2 = 100 + 20 + 1 = 121 $$
حاصل ضرب ۱۲ در ۱۲ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۲ را به صورت (10+2) می‌نویسیم.
$$large 12 times 12 = ( 10 + 2 ) times ( 10 + 2 ) = ( 10 + 2 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه بسیار ساده‌تر از توان رساند ۱۲ خواهد بود. در این صورت داریم.
$$ large 12 times 12 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 = 100 + 40 + 4 = 144 $$
با توجه به اتحاد مربع دو جمله‌ای و مثالهای گفته شده، می‌توان قاعده زیر برای پیدا کردن مربع اعداد بین ۱۰ تا 13 را در نظر گرفت.
حاصل ضرب ۱۳ در ۱۳ را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم.
$$ large 13 times 13 = 100 times 1 + 10 times (2 times 3) + 3 times 3 = 169 $$
حاصل ضرب 14 در 14 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع ۴ برابر است با ۱۶ که دارای یک رقم دهگان است.
$$ large 14 times 14 = 100 times 1 + 10 times (2 times 4) + 4 times 4 = 100 + 80 + 16 = 196 $$
حاصل ضرب 15 در 15 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع 5 برابر است با 25 که دارای یک رقم دهگان برابر با ۲ است.
نتیجه حاصل را به کمک اتحاد جمله مشترک نیز می‌توانیم بدست آوریم.
$$ large 15 times 15 = 100 times 1 + 10 times (2 times 5) + 5 times 5 = 100 + 100 + 25 = 225 $$
حاصل ضرب 1۶ در 1۶ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. یعنی به جای نوشتن عدد به صورت جمع، از شیوه تفاضل استفاده میکنیم.
$$ large 16 times 16 = (20 – 4) times (20 – 4) = 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 $$
که در این صورت خواهیم داشت.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 = 400 – 160 + 16 = 256 $$
حاصل ضرب ۱۷ در ۱۷ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. به این ترتیب ۱۷ را به صورت ۳ – ۲۰ می‌نویسیم.
$$ large 17 times 17 = (20 – 3) times (20 – 3) = 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 $$
بنابراین محاسبه به صورت زیر در خواهد آمد.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 = 400 – 120 + 9 = 289 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مزدوج: این نوع اتحاد برای ضرب دو عدد به کار می‌رود که می‌توان آن را به صورت تفاضل مربع دو عدد دیگر نوشت. فرض کنید $$ a – b $$ و $$ a + b $$ دو عدد باشند. در این صورت طبق اتحاد مزدوج، حاصلضرب این دو عدد به صورت زیر قابل محاسبه است.
$$ large (a – b ) ( a + b ) = a^2 – b^2 $$
بنابراین در مواقعی که دو عدد با فاصله‌ای به اندازه $$ 2b $$ از یکدیگر قرار گرفته‌اند، از این اتحاد برای ضرب کردنشان استفاده خواهیم کرد. به مثال‌هایی زیر توجه کنید.
حاصل ضرب 14 در ۱2 را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۱ + ۱۳ و همچنین ۱۲ را به صورت ۱ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = (13 + 1 ) times ( 13 – 1 ) = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳ داریم، $$ 13 ^ 2 = 169 $$ بنابراین حاصل ضرب ۱۲ در ۱۴ به شکل زیر در خواهد آمد.
$$ large 12 times 14 = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 = 169 – 1 = 168 $$
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. فاصله این دو عدد برابر است با ۴، در نتیجه مقدار $$ b $$ برابر با ۲ خواهد بود. به این ترتیب ۱۵ را به صورت ۲ + ۱۳ و همچنین ۱۱ را به صورت ۲ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 11 times 15 = (13 – 2 ) times ( 13 + 2 ) = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳، نتایج به صورت زیر نوشته می‌شوند.
$$ large 11 times 15 = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 = 169 – 4 = 165 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد جمله مشترک: معمولا برای نمایش جمله مشترک در این اتحاد از نماد $$ x $$ استفاده میشود. شکل کلی اتحاد جمله مشترک به صورت زیر است:
$$ large (x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + x ( a + b ) + ab $$
به این ترتیب از این اتحاد برای ضرب دو عدد که یکی $$ a $$ واحد و دیگری $$ b $$ واحد از $$ x $$ بزرگتر هستند استفاده میکنیم. معمولا $$ x $$ را عددی در نظر می‌گیریم که توان دوم آن به سادگی محاسبه شود.
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. اگر عدد مبنا را ۱۰ در نظر داشته باشیم، مقدار $$ x $$ برابر با ۱۰ و $$ a $$ و $$ b $$ نیز به ترتیب برابر با ۵ و ۱ خواهند بود.
$$ large 15 = 10 + 5 rightarrow a = 5, ;; 11 = 10 + 1 rightarrow b = 1$$
حال حاصلضرب را به این طریق محاسبه میکنیم.
$$ large 11 times 15 = ( 10 + 5 ) times ( 10 + 1 ) = 10 ^ 2 + 10 times (5 + 1 ) + 5 times 1$$
با توجه به ساده‌سازی و جمع جبری خواهیم داشت:
$$ large 11 times 15 = 100 + 60 + 5 = 165 $$
حاصل ضرب 14 در ۱2 را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۴ + ۱۰ و همچنین ۱۲ را به صورت ۲ + ۱۰ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 2 ) = 100 + 10 times ( 4 + 2 ) + 4 times 2 $$
با توجه به ساده‌سازی محاسبات بالا خواهیم داشت:
$$ large 12 times 14 = 100 + 60 + 8 = 168 $$
با توجه به مثالهای گفته شده، قاعده‌ای خاصی را برای ضرب ذهنی و سریع یک عدد دو رقمی ۱۰ تا ۱۹ در ۱۱ به کار می‌بریم. توجه داشته باشید که همیشه می‌توانیم ۱۱ را به صورت ۱۰ + ۱ بنویسیم و عمل ضرب را انجام دهیم. فرض کنید عدد دو رقمی مثلا $$ a $$ را هم به صورت $$ 10 + b $$ نوشته‌ایم که $$ b = a — 10 $$ است. در نتیجه $$ b $$ یک عدد تک رقمی است.
$$ large 11 times a = (10 + 1 ) times (10 + b ) = 10 ^ 2 + 10 times (b + 1 ) + b times 1 = 100 + 10 b + 10 + b = 110 + 11 times b $$
به این ترتیب می‌توانیم قانون زیر را استخراج کنیم.
حاصل ضرب 14 در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 14 times 11 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (4 +1) + 4 = 100 + 50 + 4 = 154 $$
با استفاده از قاعده داریم $$ b = 4 $$ پس
$$ large 11 times 14 = 110 + 11 times 4 = 110 + 44 = 154 $$
حاصل ضرب 1۸ در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 18 times 11 = ( 10 + 8 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (8+1) + 8 = 100 + 90 + 8 = 198 $$
مشخص است که در اینجا $$ a = 18 , b = 18 – 10 = 8 $$ خواهد بود. پس با توجه به قاعده گفته شده خواهیم داشت:
$$ large 18 times 11 = 110 + 88 = 198 $$
حاصل ضرب 1۹ در ۱۱ نیز از قاعده گفته شده تبعیت میکند. و همچنین باز هم می‌توانیم از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم.
$$ large 19 times 11 = ( 10 + 9 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times ( 9 + 1 ) + 9 = 100 + 100 + 9 = 209 $$
یا $$ b = 9 $$، پس:
$$ large 19 times 11 = 110 + 11 times 9 = 110 + 99 = 209 $$
نکات بیشتر و کامل برای انجام محاسبات ذهنی و سریع در ریاضیات در آموزش ویدیوی آموزش محاسبات سریع ریاضی قابل مشاهده است.
در این آموزش برای انجام محاسبات سریع و ذهنی، روش‌هایی معرفی می‌شوند که در اکثر موارد ساده بوده و به راحتی قابل انجام به صورت ذهنی یا با کمک کاغذ و قلم هستند. این روشها، شما را در کسب امتیاز برتر در آزمون‌هایی که امکان استفاده از ماشین حساب را ندارید، یاری می‌کنند.
در فصل اول این آموزش روشهای محاسباتی برای انجام عمل ضرب مورد بحث قرار میگیرد. در فصل دوم نیز موضوع ضرب ذهنی و سریع آموزش داده میشود. فصل سوم نیز به جمع و تفریق اعداد پرداخته شده و لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد اشاره قرار میگیرد. فصل پنجم محاسبات توابع مثلثاتی را به صورت ساده و سریع آموزش می‌دهد. در فصل ششم نیز محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد معرفی می‌شوند.
در این نوشتار به بررسی ضرب ذهنی و سریع پرداختیم. در این بین استفاده از اتحادهای ریاضی، می‌تواند بسیاری از عملیات ضرب را برایمان ساده‌تر کرده و سرعت انجام محاسبات را بهبود بخشند. شاید استفاده از اتحادها و روشهای معرفی شده در این نوشتار کمی مشکل و پیچیده به نظر برسند ولی با تمرین می‌توانید هر روز بهتر و بهتر شده و با اعتماد به نفس محاسبات ضرب ذهنی و سریع را انجام دهید.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
آرمان ری بد (+)
«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه میکند.
بر اساس رای 38 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
قبل از مثال ۱۵ قاعده ای که استخراج کردید با نتایج نمیخونه.باید یکان رو خود b گرفت و برای دهگان اگه b بزرگتر از ۵بود یک واحد اضافه بشه.
سلام و وقت بخیر،
از این که همراه مجله فرادرس هستید و مطالب آن را با دقت مطالعه میکنید، بسیار سپاسگزاریم.
نظر شما در مورد تصحص قاعده ضرب در یازده، کامل صحیح بود و مطلب به روزآوری شد.
از این که مجله فرادرس خواننده فهیم مانند شما دارد، خرسنیدم.
پیروز و سربلند باشید.
نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *
سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.
فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر
هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.
© فرادرس ۱۳۹۹
محاسبه با چهار عمل اصلی در بسیاری از امور روزمره به کار می‌رود. بنابراین اگر بخواهیم از ماشین حساب برای این گونه عملیات استفاده کنیم، ممکن است حتی جمع و تفریق عادی را هم فراموش کنیم. بنابراین بهتر است از چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) بیشتر استفاده کنیم و حتی به کمک روش‌هایی سرعت انجام این گونه محاسبات را در ذهنمان افزایش دهیم. در این نوشتار به ضرب ذهنی و سریع اعداد صحیح میپردازیم و کاربردهای آن را مرور خواهیم کرد. در این بین از اتحادهای جبری که در بیشتر محاسبات جبری استفاده می‌شوند هم بهره می‌بریم.
محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریعتر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.
در این نوشتار قرار است ضرب ذهنی و سریع را براساس مجموعه اعداد صحیح انجام دهیم. به همین منظور برای آشنایی بیشتر با این گونه اعداد بهتر است مطلب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن قواعد بخش پذیری یا عاد کردن — به زبان ساده به عنوان مقدمه‌ای بر ضرب ذهنی و سریع نیز خالی از لطف نیست.
عمل ضرب و تقسیم از عملیات پایه در ریاضیات محسوب می‌شوند. به همین دلیل در اکثر اوقات احتیاج داریم که چنین محاسباتی را بدون ماشین حساب یا تلفن همراه و به صورت ذهنی انجام دهیم. در این نوشتار با ضرب ذهنی و سریع آشنا می‌شویم. همچنین در مطالب بعدی به موضوع انجام عمل تقسیم ذهنی و سریع، خواهیم پراخت.
همانطور که می‌دانید، عمل ضرب در حقیقت تکرار عمل جمع در مجموعه اعداد صحیح است. بنابراین منظور از ضرب ۷ در عدد ۲، جمع کردن عدد دو به تعداد هفت بار یا جمع کردن عدد هفت به تعداد دو بار است. به تصویر زیر دقت کنید.چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
همانطور که در تصویر بالا مشاهده میکنید، حاصل هفت بار جمع کردن عدد ۲ نشان داده شده است. البته می‌توانیم به صورت عکس نیز عمل کنیم. یعنی حاصل دو بار جمع کردن عدد ۷ را به همین شکل نشان دهیم.
به این ترتیب مشخص است که رابطه زیر برای ضرب این دو عدد، برقرار است.
$$ large 2 times 7 = 7 times 2 = 14 $$
این ویژگی در ضرب به عنوان «خاصیت جابجایی» (Commutative Property of Multiplication) شناخته میشود.
بنابراین با توجه به مشابه بودن ضرب و جمع، از همه قواعدی که برای جمع کردن سریع و ذهنی وجود دارد می‌توانید استفاده کنید. برای مشاهده این قاعده‌ها بهتر است مطلب دیگری از مجله فرادرس با عنوان جمع و تفریق ذهنی — از صفر تا صد را مطالعه کنید.
نکته: توجه داشته باشید که خاصیت جابجایی برای جمع و ضرب وجود داشته، ولی برای تفریق و تقسیم وجود ندارند. به مثالهای زیر دقت کنید.
$$ large 2 – 1 neq 1 – 2 $$
$$ large 1 div 2 neq 2 div 1 $$
یکی از نکات پایه برای ضرب ذهنی، دانستن و شناخت عناصر جدول ضرب (Times Table) است. نمونه یک جدول ضرب ۱۲ تایی را در تصویر زیر مشاهده میکنید.
توجه داشته باشید که با در نظر گرفتن خاصیت جابجایی در ضرب نیازی به حفظ کردن همه عناصر این جدول نیست و برای مثال می‌توانید مثلث بالایی این جدول را به خاطر بسپارید. چنین جدولی در تصویر زیر دیده میشود.
الگوهای مشخصی در این جدول نیز وجود دارد که حفظ کردن آن را ساده‌تر میکند. برای مثال مشخص است که ضرب هر عدد در ۱۰ برابر با اضافه کردن یک صفر به قسمت یکان آن عدد است.
$$ large color{red}{3} times 1color{blue}{0} = color{red}{3} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{10} times 1color{blue}{0} = color{red}{10} color{blue}{0} $$
$$ large color{red}{12} times 1color{blue}{0} = color{red}{12} color{blue}{0} $$
همچنین عمل ضرب هر یک از اعداد جدول ضرب در عدد ۱۱ نیز دارای الگوی خاصی است. کافی است که برای اعداد کوچکتر از ۱۰، رقم را تکرار کنید تا حاصل ضرب آن عدد در ۱۱ بدست آید.
$$ large 1 times 11 = 11 $$
$$ large 2 times 11 = 22 $$
$$ large 3 times 11 = 33 $$
$$ large 4 times 11 = 44 $$
$$ large 5 times 11 = 55 $$
$$ large 7 times 11 = 77 $$
$$ large 8 times 11 = 88 $$
$$ large 9 times 11 = 99 $$
نکته: در بخش دیگری از این متن به بررسی حاصل ضرب اعداد دو رقمی بزرگتر یا مساوی ۱۰ در ۱۱ خواهیم پرداخت و الگویی نیز برای مشخص کردن حاصل ضرب آنها خواهیم یافت.
الگویی نیز برای حاصل ضرب اعداد در ۵ وجود داد. به این ترتیب ضرب‌های مربوط به مضارب ۵ نیز به راحتی به حافظه سپرده می‌شوند.
مثلا اگر بخواهیم حاصل ضرب ۶ در ۵ را محاسبه کنیم، مشخص است که رقم یکان حاصل ضرب، صفر است زیرا ۶ عددی زوج است. همچنین تقسیم ۶ بر ۲ برابر با ۳، پس رقم دهگان نیز ۳ خواهد بود و نتیجه حاصلضرب ۶ در ۵ برابر با ۳۰ محاسبه میشود.
$$ large 1 times 5 = (1 – 1) times 5 + 5 = 0 + 5 = 5 $$
$$ large 2 times 5 = (2 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{1} color{red}{0} $$
$$ large 3 times 5 = (3 – 1) times 5 + 5 = 10 + 5 = 15 $$
$$ large 4 times 5 = (4 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{2} color{red}{0} $$
$$ large 5 times 5 = (5 – 1) times 5 + 5 = 20 + 5 = 25 $$
چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
$$ large 6 times 5 = (6 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{3} color{red}{0} $$
$$ large 7 times 5 = (7 – 1) times 5 + 5 = 30 + 5 = 35 $$
$$ large 8 times 5 = (8 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{4} color{red}{0} $$
$$ large 9 times 5 = (9 – 1) times 5 + 5 = 40 + 5 = 45 $$
$$ large 10 times 5 = (10 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{5} color{red}{0} $$
$$ large 11 times 5 = (11 – 1) times 5 + 5 = 50 + 5 = 55 $$
$$ large 12 times 5 = (12 div 2); (color{red}{0}) = color{blue}{6} color{red}{0} $$
به این ترتیب با توجه به قواعد گفته شده، جدول ضرب را می‌توان با عناصر کمتری به خاطر سپرد.
در این قسمت میخواهیم روش‌هایی را برای ضرب عدد دو رقمی در یک عدد تک رقمی مشخص کنیم. برای انجام این کار به ذکر چند مثال میپردازیم. توجه داشته باشید که در اغلب این مثال‌ها، از روشهای ترکیبی از جمع و ضرب استفاده خواهیم کرد.
دو عدد ۱۷ و ۸ را در نظر بگیرید. حاصل ضرب آنها را به صورت زیر بدست می‌آوریم.
گام اول: ۱۷ را به نزدیکترین عامل جمعی با ۱۰ تبدیل میکنیم، سپس عمل ضرب را انجام می‌دهیم.
$$ large 17 times 8 = ( 10 + 7 ) times 8 $$
گام دوم: از سمت راست، هشت را در پرانتز ضرب میکنیم. این کار به علت داشتن خاصیت پخشی یا توزیع‌پذیری (Distribution) ضرب نسبت به جمع، امکان‌پذیر است.
$$ large (10 + 7 ) times 8 = ( 8 times 10) + (8 times 7) = 80 + 65 $$
گام سوم: رابطه جمع حاصل را به کمک روشهای جمع ذهنی کامل میکنیم.
$$ large 80 + 50 + 6 = 130 + 6 = 136 $$
در این قسمت حاصل ضرب ۷ در ۳۳ را بدست می‌آوریم. ابتدا ۳۳ را تفکیک میکنیم.
گام اول: تفکیک ۳۳ به عاملی از ۱۰
$$ large 7 times 33 = 7 times (30 + 3 ) $$
گام دوم: توزیع ضرب در جمع.
$$ large 7 times (30 + 3 ) = 7 times 30 + 7 times 3 $$
گام سوم: انجام عمل ضرب و جمع‌بندی نتایج حاصل.
$$ large 7 times 30 + 7 times 3 = 210 + 21 = 231 $$
نکته: هنگام ضرب یک عدد در ۱۰ یا توان‌های آن توجه داشته باشید که به تعداد توان‌های ۱۰، رقم صفر در سمت راست عدد ظاهر خواهد شد. برای مثال اگر ۴۵ را در ۱۰ ضرب کنیم، حاصل برابر با ۴۵۰ است که فقط یک صفر در سمت راست عدد ۴۵ ظاهر می‌سازد. به همین ترتیب ضرب ذهنی و سریع عددی در ۱۰۰ یا همان توان دوم ۱۰ باعث میشود که دو صفر در سمت راست آن (در اینجا ۴۵) ظاهر گردد. مشخص است که در اینجا حاصلضرب برابر با ۴۵۰۰ خواهد شد.
این بار یک عدد ۳ رقمی را در یک عدد تک رقمی ضرب خواهیم کرد ولی در حقیقت باز هم از خاصیت شرکت‌پذیری ضرب نسبت به جمع استفاده میکنیم.
گام اول: ۵۶۲ را به صورت مجموع صدگان و دهگان و یکان آن می‌نویسیم.
$$ large 562 times 8 = ( 500 + 60 + 2 ) times 8 $$
گام دوم: از خاصیت توزیع‌پذیری یا پخشی استفاده میکنیم.
$$ large ( 500 + 60 + 2 ) times 8 = 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 $$
گام سوم: ضرب و جمع کردن محاسبات گفته شده و ساده سازی پاسخ‌ها در این مرحله صورت میگیرد.
$$ large 8 times 500 + 8 times 60 + 8 times 2 = 4000 + 480 + 16 = 4496$$
نکته: هنگام ضرب ۵۰۰ در ۸ به این موضوع توجه داشته باشید که می‌توانیم صفرهای عدد ۵۰۰ را نادیده گرفته و فقط ۵ را در ۸ ضرب کرده، سپس به همان تعداد صفر به سمت راست اضافه کنیم.
در دیگر نوشتارهای مجله فرادرس تحت عنوان اتحاد و تجزیه در ریاضی — به زبان ساده با اتحادهای جبری آشنا شده‌اید. بر همین اساس نیز محاسبه عمل ضرب ذهنی و سریع را به سادگی می‌توان انجام داد. ابتدا به بعضی از این اتحادها که در محاسبه ضرب بیشتر کاربرد دارند، اشاره خواهیم کرد.
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مربع دو جمله‌ای: این اتحاد بر اساس مربع جمع یا تفاضل دو عدد مثل $$ a $$ و $$ b $$ نوشته میشود.
نوع اول $$ large (a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2 $$
نوع دوم $$ large (a – b)^2 = a^2 – 2ab +b^2 $$
از همین اتحاد برای ضرب یک عدد در خودش می‌توان استفاده کرد. به مثالهای زیر دقت کنید.
حاصل ضرب ۱۱ در ۱۱ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع اول بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۱ را به صورت (10+۱) می‌نویسیم.
$$large 11 times 11 = ( 10 + 1 ) times ( 10 + 1 ) = ( 10 + 1 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times ۱ ) + 1^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه از ضرب ۱۱ در خودش ساده‌تر است. در این صورت داریم.
$$ large 11 times 11 = 10 ^2 + 2 times (10 times 1 ) + 1^2 = 100 + 20 + 1 = 121 $$
حاصل ضرب ۱۲ در ۱۲ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای بدست می‌آوریم. ابتدا ۱۲ را به صورت (10+2) می‌نویسیم.
$$large 12 times 12 = ( 10 + 2 ) times ( 10 + 2 ) = ( 10 + 2 )^2 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 $$
مشخص است که انجام این گونه محاسبه بسیار ساده‌تر از توان رساند ۱۲ خواهد بود. در این صورت داریم.
$$ large 12 times 12 = 10 ^2 + 2 times (10 times 2 ) + 2^2 = 100 + 40 + 4 = 144 $$
با توجه به اتحاد مربع دو جمله‌ای و مثالهای گفته شده، می‌توان قاعده زیر برای پیدا کردن مربع اعداد بین ۱۰ تا 13 را در نظر گرفت.
حاصل ضرب ۱۳ در ۱۳ را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم.
$$ large 13 times 13 = 100 times 1 + 10 times (2 times 3) + 3 times 3 = 169 $$
حاصل ضرب 14 در 14 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع ۴ برابر است با ۱۶ که دارای یک رقم دهگان است.
$$ large 14 times 14 = 100 times 1 + 10 times (2 times 4) + 4 times 4 = 100 + 80 + 16 = 196 $$
حاصل ضرب 15 در 15 را به کمک قاعده گفته شده بدست می‌آوریم. البته در این بین احتیاج به یک تصحیح نیز وجود دارد. زیرا مربع 5 برابر است با 25 که دارای یک رقم دهگان برابر با ۲ است.
نتیجه حاصل را به کمک اتحاد جمله مشترک نیز می‌توانیم بدست آوریم.
$$ large 15 times 15 = 100 times 1 + 10 times (2 times 5) + 5 times 5 = 100 + 100 + 25 = 225 $$
حاصل ضرب 1۶ در 1۶ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. یعنی به جای نوشتن عدد به صورت جمع، از شیوه تفاضل استفاده میکنیم.
$$ large 16 times 16 = (20 – 4) times (20 – 4) = 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 $$
که در این صورت خواهیم داشت.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 4 ) + 4^2 = 400 – 160 + 16 = 256 $$
حاصل ضرب ۱۷ در ۱۷ را به کمک اتحاد مربع دو جمله‌ای نوع دوم حل میکنیم. به این ترتیب ۱۷ را به صورت ۳ – ۲۰ می‌نویسیم.
$$ large 17 times 17 = (20 – 3) times (20 – 3) = 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 $$
بنابراین محاسبه به صورت زیر در خواهد آمد.
$$ large 400 – 2 times ( 20 times 3 ) + 3^2 = 400 – 120 + 9 = 289 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد مزدوج: این نوع اتحاد برای ضرب دو عدد به کار می‌رود که می‌توان آن را به صورت تفاضل مربع دو عدد دیگر نوشت. فرض کنید $$ a – b $$ و $$ a + b $$ دو عدد باشند. در این صورت طبق اتحاد مزدوج، حاصلضرب این دو عدد به صورت زیر قابل محاسبه است.
$$ large (a – b ) ( a + b ) = a^2 – b^2 $$
بنابراین در مواقعی که دو عدد با فاصله‌ای به اندازه $$ 2b $$ از یکدیگر قرار گرفته‌اند، از این اتحاد برای ضرب کردنشان استفاده خواهیم کرد. به مثال‌هایی زیر توجه کنید.
حاصل ضرب 14 در ۱2 را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۱ + ۱۳ و همچنین ۱۲ را به صورت ۱ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = (13 + 1 ) times ( 13 – 1 ) = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳ داریم، $$ 13 ^ 2 = 169 $$ بنابراین حاصل ضرب ۱۲ در ۱۴ به شکل زیر در خواهد آمد.
$$ large 12 times 14 = 13 ^ 2 – 1 ^ 2 = 169 – 1 = 168 $$
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد مزدوج بدست می‌آوریم. فاصله این دو عدد برابر است با ۴، در نتیجه مقدار $$ b $$ برابر با ۲ خواهد بود. به این ترتیب ۱۵ را به صورت ۲ + ۱۳ و همچنین ۱۱ را به صورت ۲ – ۱۳ می‌نویسیم.
$$ large 11 times 15 = (13 – 2 ) times ( 13 + 2 ) = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 $$
با توجه به محاسبات قبلی برای بدست آوردن مربع عدد ۱۳، نتایج به صورت زیر نوشته می‌شوند.
$$ large 11 times 15 = 13 ^ 2 – 2 ^ 2 = 169 – 4 = 165 $$
ضرب ذهنی و سریع با اتحاد جمله مشترک: معمولا برای نمایش جمله مشترک در این اتحاد از نماد $$ x $$ استفاده میشود. شکل کلی اتحاد جمله مشترک به صورت زیر است:
$$ large (x + a ) ( x + b ) = x ^ 2 + x ( a + b ) + ab $$
به این ترتیب از این اتحاد برای ضرب دو عدد که یکی $$ a $$ واحد و دیگری $$ b $$ واحد از $$ x $$ بزرگتر هستند استفاده میکنیم. معمولا $$ x $$ را عددی در نظر می‌گیریم که توان دوم آن به سادگی محاسبه شود.
حاصل ضرب 1۵ در ۱۱ را به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. اگر عدد مبنا را ۱۰ در نظر داشته باشیم، مقدار $$ x $$ برابر با ۱۰ و $$ a $$ و $$ b $$ نیز به ترتیب برابر با ۵ و ۱ خواهند بود.
$$ large 15 = 10 + 5 rightarrow a = 5, ;; 11 = 10 + 1 rightarrow b = 1$$
حال حاصلضرب را به این طریق محاسبه میکنیم.
$$ large 11 times 15 = ( 10 + 5 ) times ( 10 + 1 ) = 10 ^ 2 + 10 times (5 + 1 ) + 5 times 1$$
با توجه به ساده‌سازی و جمع جبری خواهیم داشت:
$$ large 11 times 15 = 100 + 60 + 5 = 165 $$
حاصل ضرب 14 در ۱2 را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک بدست می‌آوریم. به این ترتیب ۱۴ را به صورت ۴ + ۱۰ و همچنین ۱۲ را به صورت ۲ + ۱۰ می‌نویسیم.
$$ large 12 times 14 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 2 ) = 100 + 10 times ( 4 + 2 ) + 4 times 2 $$
با توجه به ساده‌سازی محاسبات بالا خواهیم داشت:
$$ large 12 times 14 = 100 + 60 + 8 = 168 $$
با توجه به مثالهای گفته شده، قاعده‌ای خاصی را برای ضرب ذهنی و سریع یک عدد دو رقمی ۱۰ تا ۱۹ در ۱۱ به کار می‌بریم. توجه داشته باشید که همیشه می‌توانیم ۱۱ را به صورت ۱۰ + ۱ بنویسیم و عمل ضرب را انجام دهیم. فرض کنید عدد دو رقمی مثلا $$ a $$ را هم به صورت $$ 10 + b $$ نوشته‌ایم که $$ b = a — 10 $$ است. در نتیجه $$ b $$ یک عدد تک رقمی است.
$$ large 11 times a = (10 + 1 ) times (10 + b ) = 10 ^ 2 + 10 times (b + 1 ) + b times 1 = 100 + 10 b + 10 + b = 110 + 11 times b $$
به این ترتیب می‌توانیم قانون زیر را استخراج کنیم.
حاصل ضرب 14 در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 14 times 11 = ( 10 + 4 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (4 +1) + 4 = 100 + 50 + 4 = 154 $$
با استفاده از قاعده داریم $$ b = 4 $$ پس
$$ large 11 times 14 = 110 + 11 times 4 = 110 + 44 = 154 $$
حاصل ضرب 1۸ در ۱۱ را این بار به کمک اتحاد جمله مشترک و قاعده‌ای که گفتیم بدست می‌آوریم.
$$ large 18 times 11 = ( 10 + 8 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times (8+1) + 8 = 100 + 90 + 8 = 198 $$
مشخص است که در اینجا $$ a = 18 , b = 18 – 10 = 8 $$ خواهد بود. پس با توجه به قاعده گفته شده خواهیم داشت:
$$ large 18 times 11 = 110 + 88 = 198 $$
حاصل ضرب 1۹ در ۱۱ نیز از قاعده گفته شده تبعیت میکند. و همچنین باز هم می‌توانیم از اتحاد جمله مشترک استفاده کنیم.
$$ large 19 times 11 = ( 10 + 9 ) times ( 10 + 1 ) = 100 + 10 times ( 9 + 1 ) + 9 = 100 + 100 + 9 = 209 $$
یا $$ b = 9 $$، پس:
$$ large 19 times 11 = 110 + 11 times 9 = 110 + 99 = 209 $$
نکات بیشتر و کامل برای انجام محاسبات ذهنی و سریع در ریاضیات در آموزش ویدیوی آموزش محاسبات سریع ریاضی قابل مشاهده است.
در این آموزش برای انجام محاسبات سریع و ذهنی، روش‌هایی معرفی می‌شوند که در اکثر موارد ساده بوده و به راحتی قابل انجام به صورت ذهنی یا با کمک کاغذ و قلم هستند. این روشها، شما را در کسب امتیاز برتر در آزمون‌هایی که امکان استفاده از ماشین حساب را ندارید، یاری می‌کنند.
در فصل اول این آموزش روشهای محاسباتی برای انجام عمل ضرب مورد بحث قرار میگیرد. در فصل دوم نیز موضوع ضرب ذهنی و سریع آموزش داده میشود. فصل سوم نیز به جمع و تفریق اعداد پرداخته شده و لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد اشاره قرار میگیرد. فصل پنجم محاسبات توابع مثلثاتی را به صورت ساده و سریع آموزش می‌دهد. در فصل ششم نیز محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد معرفی می‌شوند.
در این نوشتار به بررسی ضرب ذهنی و سریع پرداختیم. در این بین استفاده از اتحادهای ریاضی، می‌تواند بسیاری از عملیات ضرب را برایمان ساده‌تر کرده و سرعت انجام محاسبات را بهبود بخشند. شاید استفاده از اتحادها و روشهای معرفی شده در این نوشتار کمی مشکل و پیچیده به نظر برسند ولی با تمرین می‌توانید هر روز بهتر و بهتر شده و با اعتماد به نفس محاسبات ضرب ذهنی و سریع را انجام دهید.
اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:
^^
آرمان ری بد (+)
«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه میکند.
بر اساس رای 38 نفر
آیا این مطلب برای شما مفید بود؟
قبل از مثال ۱۵ قاعده ای که استخراج کردید با نتایج نمیخونه.باید یکان رو خود b گرفت و برای دهگان اگه b بزرگتر از ۵بود یک واحد اضافه بشه.
سلام و وقت بخیر،
از این که همراه مجله فرادرس هستید و مطالب آن را با دقت مطالعه میکنید، بسیار سپاسگزاریم.
نظر شما در مورد تصحص قاعده ضرب در یازده، کامل صحیح بود و مطلب به روزآوری شد.
از این که مجله فرادرس خواننده فهیم مانند شما دارد، خرسنیدم.
پیروز و سربلند باشید.
نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *
سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.
فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر
هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.
© فرادرس ۱۳۹۹
آموزش ریاضی با مهندس رضا باغدار
سایت مهندس رضا باغدار برای آموزش ریاضی، محاسبه سریع و آماده سازی دانش آموزان برای آزمونهای نمونه دولتی و تیزهوشان و کنکور
شاید شما بدون استفاده از ماشین حساب یا قلم و کاغذ حتی توانایی محاسبه جمع و تفریق اعداد دو رقمی یا ضرب اعداد دو رقمی را نداشته باشید.برای غلبه بر این مشکل به شما توصیه می کنم؛ نگاهی به مطالب ک نگاهی به مطالب این بخش بیندازید.
در این جا سعی شده است تا با بیان روشهای خلاقانه به تقویت ذهن محاسباتی شما کمک شود.با این بخش می توانید به عنوان یک سرگرمی و بازی با ریاضی روبرو شوید.چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
روشهای محاسبه سریع بخش بسیار جذابی از آموزش ریاضی است که در اینجا به برخی روشهای آن می پردازیم.
ساده ترین و شیرین ترین روشهای محاسبات سریع در بخش ضرب اعداد دیده می شوند.
ویژگی اعداد خاص در این ضربها و توجه به برخی تکنیکها انجام عمل ضرب را بسیار سرعت می بخشد.
برای ضرب اعداد در ۵ معمولا افراد از سمت چپ شروع به ضرب عدد ۵ در ارقام عدد دیگر می کنند.این روش برای همه لزوما روشی سریع نیست. اما می توان همین ضرب را با تبدیل ضرب به نصف کردن عدد بسیار سریع تر انجام داد.
برای مشاهده آموزش سریع ضرب هر عددی در ۵ فیلم آموزشی زیر را مشاهده نمایید.
دانلود رایگان فیلم آموزشی ضرب سریع اعداد در ۵برای ضرب سریع اعداد در 50 یا 500 یا 5000 هم کافی است عدد را به همین روش در 5 ضرب کنید. سپس به تعداد صفرهای جلوی 5 مقابل حاصل ضرب صفر بگذارید.
تا حالا فکر کردید چگونه می توان حاصل ضرب ۱۱ در ۳۲ را در کمتر از ۲ ثانیه به دست آورد؟!بله این واقعیت داره برای ایمان پیدا کردن به این حرف کافیه مطلب این بخش رو دنبال کنید.خواهید دید که با این شیوه، ضرب ۱۱ در هر عددی به سرعت قابل محاسبه است .
دوستانی که در کلاسها یا نمایشگاه همراه من بوده اند؛ تکنیک اسکی را هم به عنوان گیره ذهنی به خاطر سپرده اند.
برای ضرب سریع ۱۱ در هر عددی حداقل سه ترفند محاسبه سریع وجود دارد:۱- ضرب عدد در ۱۰ و جمع کردن با خودش(این تکنیک به نوعی همان تکنیک ضرب از سمت چپ به راست است)۲- جمع در وسط (مخصوص ضرب سریع ۱۱ در اعداد دو رقمی است و تعمیم آن به اعداد با ارقام بیشتر مشابه روش سوم خواهد بود.)۳- استفاده از صفر به عنوان همسایه عددی که در ۱۱ ضرب می شود!از اینجا شما می توانید فیلم آموزشی مربوط به ضرب سریع ۱۱ در اعداد دو رقمی را دانلود کنید.
روش ارائه شده در فیلم آموزشی با کمی دقت و خلاقیت به اعداد با بیش از دو رقم هم قابل تعمیم است.
برای درک بهتر در ادامه فیلم آموزشی زیر را به صورت کلی به آموزش ضرب سریع اعداد در عدد 11 می پردازد ببینید
برای محاسبه سریع مربع اعداد با رقم یکان 5 دو مرحله ساده داریم:
سمت چپ رقم 5 را در یک واحد بیشتر از خودش ضرب کن.
جلو عدد حاصل 25 بذار!
مثلا مربع 65 به صورت زیر به دست می آید:
رقم سمت چپ 5، 6 است. 6 ضربدر 7 میشه 42. پس مربع 65 برابر است با 4225.
رقم سمت چپ 5، 99 است. 99 ضربدر 100 میشه 9900. پس مربع 995 برابر است با 990025.
شاید کسانی را دیده باشید که در جمع اعداد یک رقمی که حاصل آن ها بزرگتر از ۱۰ می شود؛ هم دچار مشکل هستند . چه رسد به جمع اعداد چند رقمی با یکدیگر.
از طرفی با افرادی را می بینیم که بسیاری از محاسبات، حداقل محاسبات مربوط به جمع و تفریق را با سرعت خوبی انجام می دهند.شاید بخشی از تفاوت این دو دسته در میزان تمرین و ممارست آنها باشد.
استفاده از تکنیک های ساده و ترفندهای جالبی که در زمینه افزایش سرعت محاسبات ریاضی است. در عمل جمع نیز خودنمایی می کنند.به عنوان نمونه برای جمع اعدادی که رقم یکان آنها بزرگتر یا مساوی با ۵ است:
یک واحد به دهگان عددی که با ۵ جمع می شود؛ اضافه کنید. سپس ۵ واحد از یکان حاصل جمع کم کنید. حاصل جمع نهایی خواهد بود.یکی از روشهای بسیار مفید در جمع اعداد، کمک گرفتن از نزدیکترین عدد صفر دار به عدد ماست.
مثلا در جمع ۱۹ و ۷ ، عدد نوزده به بیست نزدیک است . فقط یک واحد با آن اختلاف دارد. پس یک واحد از ۷ قرض می گیرد. به بیست می رسد. حال با محاسبه حاصل جمع ۲۰ و ۶ به سادگی انجام می شود.
برای غالب افراد انجام عمل ضرب بسیار ساده تر از عمل تقسیم است .
مبنای یکی از روشهای محاسبه سریع تقسیم نیز تبدیل تقسیم به ضرب می باشد.
برای آشنایی با این روش ویدئوی آموزشی زیر را مشاهده کنید.
دانلود فیلم آموزشی محاسبه سریع تقسیم به کمک تبدیل تقسیم به ضربحال مهارت خود در آموزش ارائه شده را محک بزنید. سعی کنید تمرینات زیر را با با روش گفته شده در این بخش انجام دهید.
حل تمرین زیر مهارت شما را در به کار گیری روش آموزش داده شده بیشتر می کند.
با این روش دانش آموزان دوره ابتدایی به خوبی آشنا هستند!
آنها برای به دست آوردن حاصل تقسیم های اعشاری معمولا عوامل تقسیم را در اعدادی ضرب می کنند. با این کار اعشار در مقسوم علیه از بین می رود.
با بسط این روش به سایر تقسیم ها نیز می توان محاسبه را سریع تر انجام داد.
ضرب کردن مقسوم و مقسوم علیه در برخی اعداد ، آنها را تبدیل به تقسیمهای بسیار ساده تری می نماید. مثلا به جای تقسیم بر یک و نیم؛ می توانیم تقسیم بر سه را جایگزین کنیم. این کار تنها با ضرب مقسوم و مقسوم علیه در عدد دو امکان پذیر است.چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
آنچه در اینجا دیدید بخشی از تکنیکها و ترفندهای مربوط به محاسبات سریع می باشد.
خبر خوشی داریم برای دوستانی که تمایل دارند به صورت غیرحضوری این آموزشها را دریافت کنند .
به زودی آموزش مربوط به جمع و تفریق، ضرب و تقسیم در قالب فایلهای پاورپوینت برای شما عزیزان در سایت بارگذاری می گردد.
سلام
واقعا عالی بود ممنون
میشه لطفا حاصل ضرت راحت اعداد دیگه هم اموزش بدید؟
ممنون
سلام چشم
بسیار ممنون
کارتون حرف نداشت…
خیلی ممنونم
لطف دارید!
سلام ببخشید من دهم هستم رشته ام هم ریاضی است میخواهم تکنیک های بسیار زیادی از جبر ومعادله یاد بگیرم یکی از همکلاسی هایم درجبر عالی است میخواهم جبرم مثل آن شود پیشنهادتون برای من چیه؟چه کتابی بهم معرفی میکنید؟
بله من ذهنی حساب میکنم تا با جبر و معادله اگه میشه بهترین چیزی که با آن جبر راهم قوی میکند بگید چون المپیاد ریاضی هم میدهم.
سلام وقت بخیر
برای المپیاد به نظرم بهترین منبع سوالات سالهای گذشته و کتابهایی است که پاسخ این سوالات را به صورت تشریحی ارائه کرده اند. کتب انتشارات فاطمی باشد.
سلام وقت بخیر میشه همه ی محصولاتتون رو برام بگین تا هر کدام که نیاز داشتم رو ازتون بخرم خیلی ممنون میشم
سلام
تکنیکها در قالب فایلهای پاورپوینت و پی دی اف قابل عرضه هستند.عمدتا مربوط به محاسبات اعداد خاص می باشند.
عالی بود. ممنون.
سلام استاد من 32 سالمه و قبلا عاشق ریاضی بودم. رشته ام اقتصاد. البته 10 سال گذشته و نمیدونم یادم مونده جیزی یانه. میخوام معلم ریاضی بشم مثل خودتون میشه راهنمایی ام کنید؟؟در دبیرستان همیشه نمره ریاضی ام 20 بود دانشگاه 17
سلام وقت بخیر
اگر از رشته انسانی به اقتصاد رفته اید احتمالا یه مقدار کار براتون سخت باشه چون عموم بچه های انسانی در درس ریاضی مشکل دارن حتی بچه هایی که ظاهرا نمرات خوبی گرفتن.
یکی از بهترین جاها برای شروع تدریس همکاری با آموزشگاه ها به خصوص قلمچی و گزینه 2 هست. اول انتخاب کنید می خواید روی چه پایه ای کار کنید و توصیه می کنم از پایه های پایین تر شروع کنید که سبک بیانتون به مرور بهتر بشه. بعد برید سراغ آموزشگاه ها یا مدارس و به عنوان معلم یار، پشتیبان و یا … کار رو شروع کنید. تدریس به بچه های فامیل و دوستان هم می تونه شروع خوبی باشه.
سلام بسیار مفید بود متشکرم.
سلام. خوشحالم مطالب براتون مفید بود.
هیچی از ریاضی رو نمیدونم . متنفرم از ریاضی . اما بعضی وقتا کارم به ریاضی گیر میکنه چیکار کنم بتونم ببه ریاضی علاقمند بشم
راه های زیادی هست.
معمولا آدما از کارایی که براشون سخته خوششون نمیاد.پس دنبال ساده کردن این راه سخت باشید.
۱. از پایه شروع کنید.کتابهای درسی مقطع پایه را بخونید.کتابهای کمک درسی رو بخونید.خودتون تمرین حل کنید.
۲. یه معلم عاشق پیدا کنید و ازش ریاضی رو به زبان ساده یاد بگیرید.کسی که بپذیره مشکل شما با ریاضی لزوما ربطی به هوشتون نداره و شاید رفتارای بد معلما باعث شده از ریاضی خوشتون نیاد و همین دوست نداشتن ریاضی باعث تمرین نکردن و تشدید ضعفاتون بشه. بگردید ازین معلمای خوب هم دور و برتون پیدا میشن.شاید حتی شغل رسمی شون معلمی نباشه اما عاشق ریاضی باشن.
احتمالا مطالب سایت ما هم بتونه یه خورده کمکتون کنه.خوشحال میشم بتونم همراهتون باشم.
سلام امکانش هست واسم ایمیل کنید – هزینه اش هم میشه لطف کنید ایمیل کنید .
سلام
در حال حاضر دو محصول به عنوان نمونه در اختیار همراهان سایت قرار می گیرد. در صورت مفید بودن محصولات ارائه شده لیست سایر محصولات در اختیارتان قرار می گیرد تا حسب مورد درخواست نمایید.
ضرب سریع اعداد دو رقمی (فایل پاورپوینت به قیمت 2000 تومان)
ضرب سریع اعداد دو رقمی خاص در سه ثانیه! (فایل پاورپوینت به قیمت 2000 تومان)
سلام چطوری پرداخت کنم ؟؟
سلام
به کارت تجارت به شماره 5859831036176732 هزینه را واریز کنید. ضمنا ایمیل صحیح خود را برای دریافت فایل های ارسالی ما به شماره 09356816738 پیامک کنید.
روز بخیر جناب مهندس
من دانشجوی رشته کامپیوتر هستم و در مورد ریاضیات جدید به کمک نیاز دارم ایا امکان دارد از طریق شماره ای که می دهم در واتس آپ به من پیام بدهید من مجموعه کاملی از اموزشهای شما را نیاز دارم اما اول می خواهم با شما مشورت کنم دقیق نمی دانم شما آنها را کار کرده اید یا خیر
با تشکر فراوان از مباحث بسیار آموزنده و شیوه بیان زیبای شما
091……… الی
سلام خانم مهندس
وقتتون بخیر. لطف بفرمایید از طریق ایمیل موارد مدنظرتون رو برام ارسال کنید. reza.baghdar@gmail.com یا با شماره 09356816738 تماس بگیرید.
سلام به استاد و شاگردان وفادارش !
سلام علیکم! کاش یه معرفی هم می کردی!
سلام بسیار عالی ممنون از شما.
سلام
خوشحالم مطالب سایت براتون مفید بوده
عالی قشنگ بود
باسلام
تشکراز مطالب وفیلم های آموزشی اگر محبت کنید محاسبات سرعتی جمع و تفریق برای دانش آموزان ابتدایی هم بگذارید واقعا سپاسگزارم
سلام. آلو (عالی) بود.حرف ندارین ، چون باعددسروکاردارین!!!
سلام چرا بخش تقسینم دانلود نمیشه
سلام
لطفا دوباره روی لینک بزنید تا به صفحه دانلود هدایت شوید. لینک و دانلود چک شد و مشکلی وجود نداشت.
سلام.تازه با سایت شما آشنا شدم.یه سری از نکات رو طول میکشه بفهمم ولی در کل باعث میشه بهتر درس های ریاضی رو فهمید.ممنونم از زحمات شما و موفق باشید.
سلام
خوشحالم مطالب براتون مفید بوده.
سلام خیلی حیلی ممنون
سلام عالی بود
سلام عالی بود
سلام ، بسیار عالی
بنده خودم روش سریع ضرب و دارم روش کار میکنم که به نتایجی هم دست پیدا کردم ولی چون میخوام برای 3رقم در 3 رقم و حتی بالاتر یک کلیت حل واحد داشته باشه هنوز کامل نشد
سلام. خیلی خوبه. توی بحث ضرب های بیش از دو رقم به جز حالات خاصی نظیر اعداد با دهگان صفر یا ابتدای مشترک یا انتهای مشترک، روشها نسبتا طولانی میشن و با فلسفه ضرب سریع فاصله می گیرن هرچند استفاده از اتحادهای جبری و برخی ساده سازی ها هم کار را به نسبت ساده می کنه اما به نظرم چندان سریع نیستند. امیدوارم موفق باشید.
با سلا مهمه ی این تکنیک هایی که نام برده شده،در کتابی با نام جمع و تفریق سریع ریاضیاتMBMموجود می باشد.
در مثال که نام برده شد با دوبرابر کردن عددمان وسپس یک رقم اعشار رفتن می توان به حاصل عدد تقسیم بر پنج پاسخ داد.
سلام بله مهندس باقری در کتاباشون این تکنیکها رو آموزش دادن. البته افراد سرشناس زیادی مثل آرتور بنجامین و آقای بیات در ایران هم نمونه های خوبی دارند.در این بخش قراره جمع بندی مناسبی از این روشها را ارائه کنیم که به مرور زمان تکمیل میشه.
سلام خسته نباشید مطالبتون عالی بود
میخواستم بدونم از نظر شرعی اشکالی نداره که برای مقالم از مطالبتون استفاده کنم؟
سلام
مشکلی نیست. سوالی بود در خدمتم
خیلییی خیلییی ممنونم از زحمت تون
سلام.داداش کوچیکه ی من ۵ابتدائیه و بزرگترین مشکلش ریاضیه
بنده واسه راهنماییش از کلیپ های شما کمک گرفتم.کارتون عالیه.امیدوارم به اندازه ی وسعت مهربونیتون خدا به زندگیتون برکت بده.اگه ممکنه ازطریق دیگه ای ازتون کمک گرفت خوشحال میشیم بهمون بگید؟اجازه داریم باهاتون تماس بگیریم؟
سلام
در خدمتم. اگه امکان پاسخ داشته باشم خوشحال می شم بتونم کمکتون کنم.
دمتون گرم
لطف دارید. خوشحالم راضی بودید از مطابم
واقعا عالی بود دستتون طلا اگه میشه بیشتر بزارید.
متشکر. اونوقت اگر بخوایم بر. 0.25یا0.05ضرب کنیم تکلیف رقما که اعشار میخوره چی میشه نفهمیدم
برای پیاده سازی تکنیک ضرب 5 در اعدادمختلف برای اعدادی مثل 0.5 یا 0.05 کافیه بعد از به دست آوردن حاصل به تعداد اعشار (مثلا برای 0.05 دو رقم) اگر حاصل عدد صحیح شد اعشار بزنیم و اگر حاصل عدد اعشاری شد به ارقام اعشار اضافه کنیم. برای 0.25 هم به طور مشابه.
سلام خسته نباشید مطالبتون عالی بود
میخواستم بدونم از نظر شرعی اشکالی نداره که برای مقالم از مطالبتون استفاده کنم؟
سلام
سلامت باشید. اینا رایگان قرار گرفته برای نشر پیدا کردن! ذکر منبع هم بفرمایید عالی می شه!
اعشار 2.5 میشه دهم.. .25 هیچی اعشار نمیخوره… 250 اعشار نمیخوره درعوض یه صفر باید بزاری جلوی جوابت….طبق قاعده کلی بسنج…
به تعداد ارقام اعشاری عدد به فرم 25 (چه 0.25 ، چه 0.000025 یا هر چیز دیگه) باید به حاصل نکته گفته شده اعشار بزنیم و اگر جلوش صفر بود به تعداد صفرها در جلوی 1 صفر می گذاریم و در حاصل ضرب می کنیم.
خیلی عالیه من همیشه تو جمع وتفریق خیلی مشکل داشتم وبقیه منو مسخره میکردن ولی با استفاده از مطالب سایتتون مشکلم حل شد خیلی ممنون
عالییییییییییییییی بود ممنون از زحماتتون
سلام.عالی بود. کاش عدد های بزرگ رو هم تقسیم میکردید ما متوجه بشیم.
سلام. ممنون. در سایت برای آشنایی مخاطبین مقدماتی از روشهای محاسبات سریع را ارائه کردم.
برای تقسیم، استفاده از مضارب آشنا یکی از کارامدترین روشهای ذهنی است. مثلا اگر شما بخواهید 3568 را بر 36 تقسیم کنید با یک نگاه ساده عدد 3600 را از میان مضارب 36 در ذهن خواهید داشت که 32 واحد بزرگتر از عدد داده شده است. لذا بدون انجام عملیات تقسیم، می دانیم یک بسته 36 تایی از 100 بسته 36 تایی باید برداریم تا به عدد 3568 نزدیک شویم. با این کار تنها 4 واحد از عدد مورد نظر کم داریم یعنی خارج قسمت 99 و باقیمانده 4 خواهد بود.
نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *
دیدگاه
نام *
ایمیل *
وب سایت
ذخیره نام، ایمیل و وبسایت من در مرورگر برای زمانی که دوباره دیدگاهی می‌نویسم.
لطفا پس از واریز هزینه فایل ، تصویر مربوط به واریز را به ایمیل reza.baghdar@gmail.com ارسال کنید. همچنین می توانید پیامکی شامل مشخصات جزوه و تراکنش انجام شده را به شماره 09356816738 ارسال نمایید. حداکثر ظرف مدت 24 ساعت رمز فایلها برایتان ارسال شود.
در رضا باغدار دات آر rezabaghdar.ir برآنیم تا با ویدئوهای آموزشی، خلاصه درس ها، سوالات امتحانی و آزمون هایی که در اختیار شما عزیزان قرار می دهیم توانایی شما را در حل مسائل و تستهای ریاضی افزایش دهیم. این سایت دانش آموزان متوسطه اول علی الخصوص دانش آموزان پایه نهم را مخاطب اصلی خود می داند.
جادوی ریاضیات و آموزش تکنیک های محاسبات سریع نیز از خدماتی است که در اختیار شما عزیزان قرار می گیرد.
هماهنگی کلاسهای خصوصی و نیمه خصوصی
برای هماهنگی کلاسهای خصوصی و نیمه خصوصی به شماره 09356816738 اطلاعات خود و کلاس درخواستی را پیامک نمایید.
قبل از شروع بخش محاسبات ذهنی ضرب سریع ، توصیه میکنم بهتون مقاله های قبلی(ضرب ذهنی در 12 ،ضرب ذهنی در 8 و 9 ،ضرب ذهنی در 5و6و7 ،ضرب ذهنی در 4) که پیش نیاز این بخش هستند رو بخونید و بعدش بیایید سراغ این مقاله که روش مستقیم رو توضیح می دهد .
محاسبات ذهنی ضرب سریع به روش مستقیم :
در مقاله های پیشین دیدیم که چگونه عمل ضرب را می توان بدون استفاده از جدول ضرب انجام داد . با استفاده از این مطالب تازه توانستیم تسلط بهتری به جدول ضرب داشته باشیم و اشکالاتی را که احیانا در به خاطر سپردن بعضی موارد آن داشته ایم برطرف کنیم.اکنون دیگر اطمینان بیشتری به خود داریم که هرگاه لازم شود می توانیم سریع و دقیق از جدول ضرب استفاده کنیم.
چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
در این روش تازه(محاسبات ذهنی ضرب سریع به روش مستقیم ) برای انجام عمل ضرب، یاد گرفته ایم که با استفاده از هر جفت رقم در مضروب، رقمی از جواب را به دست آوریم. لابد به یاد دارید که «عدد » یعنی رقمی که درست بالای یک جای خالی که رقم بعدی جواب در آن وارد می شود ، قرار گرفته است؛ «همسایه» رقمی از مضروب است که بلافاصله در طرف راست «عدد » واقع است. این جفتهای «عدد و همسایه» به صورتی که گفته شد، با اندک تغییراتی در این فصل نیز به کار خواهد رفت.اکنون در روش خود برای فشرده سازی عمل ضرب، گام بعدی را برمی داریم. در اینجا با روش محاسبات ذهنی ضرب سریع یاد می گیریم هر عدد را در هر عدد دیگر،هر قدر هم طولانی باشند ضرب کنیم، و بدون هیچ گونه مراحل میانی ، مستقیما به جواب برسیم.مثلا :شکل فشرده ضرب 625 در 346 در ظاهر چنین خواهد بود:حالا می خواهیم بدانیم که محاسبات ذهنی ضرب سریع به روش مستقیم چگونه انجام می شود . جز آنچه در بالا می بینید، هیچ چیز دیگری نوشته نمی شود .
سه ردیف رقمهای میانی که در ضرب معمولی داشتیم، در اینجا به کار نمی آید . صورت مسئله را ، هر چه باشد، می نویسیم و سپس بلافاصله جواب آن را یادداشت می کنیم.
برای این کار دو راه وجود دارد. هر یک از این دو راه در برخی موارد برتری هایی دارد، با این حال از هر دوی آنها همیشه می توان جواب درست را به دست آورد . خوشبختانه این دو روش وجوه اشتراک زیادی دارند و به راحتی می توان هر دو را یاد گرفت.
در این مقاله ، به تشریح روشی که آن را روش ضرب مستقيم نامیده ایم می پردازیم. این روش بخصوص برای مواردی که رقمهای مضروب کوچک باشند، مثلا از تعدادی رقم های ۱ و ۲ و ۳ تشکیل شده باشند، بسیار مناسب است.
در مقاله های بعد، به شرح روش دیگر که آن را «روش سریع» می نامیم، خواهیم پرداخت. روش محاسبات ذهنی ضرب سریع ، اساسا همان روش مستقیم است که نکات تازه ای به آن افزوده شده است. این نکات تازه در واقع تدابیری است برای رفع دشواری هایی که در مورد اعدادی شامل رقمهای بزرگ، مثل ۹۸۷ ضرب در ۹۸۸ ، پیش می آید.
هر یک از این دو روش را در هر مسئله ای می توان به کار گرفت. از هر دوی این روشها همیشه جواب درست حاصل می شود . قدری جلوتر دلیلی برای انتخاب این یا آن روش ذکر کردیم، ولی این تنها به خاطر سهولت کار است، و در هر مورد خاص، بسته به نظر خود شخص، یکی از دو روش می تواند به کار رود.
ضمنا، بد نیست یاد آوری کنیم، احتمالا پیش از آنکه محاسبات ذهنی ضرب سریع به روش مستقیم توسط تراختنبرگ عرضه شود، کسانی که اعمال ریاضی سریع انجام می داده اند، روشی شبیه به روش مستقیم به کار میبرده اند.
این «افسونگران ریاضی» که با استفاده از محاسبات ذهنی تردستی می کردند که حیرت ناظران را بر می انگیخت. معمولا اسرار روشهای خود را پیش کسی فاش نمی کردند، اما ظاهرا از روشی شبیه روش مستقیم که در اینجا بیان می شود ، احيانا با برخی تغییرات، استفاده می کردند.
بد نیست موضوع را با مثال ساده ای از محاسبات ذهنی ضرب سریع به روش مستقیم آغاز کنیم و بعد به موارد دشوار بپردازیم. پس ابتدا عدد نسبتا کوچکی را در عدد نسبتا کوچک دیگری ضرب می کنیم.
مضروب های کوتاه: ضرب اعداد دو رقمی در دو رقمیفرض کنید می خواهیم 23 را در 14 ضرب کنیم. برای این کار، ضرب را به صورت زیر می نویسیم:
وقتی مضروب ، عددی دو رقمی باشد، باید مثل حالت بالا، دو صفر جلوی مضروب بگذاریم.
جواب را زیر0023 می نویسیم و در هر مرحله یک رقم از آن را با شروع از راست، ثبت می کنیم. به عبارت دیگر، آخرین رقم جواب را زیر 3 می نویسیم و بقیه رقمهای جواب را یکی یکی به طرف چپ وارد می کنیم.
مرحله اول:
رقم سمت راست مضروب، یعنی رقم ۳ از عدد ۲۳ را در رقم سمت راست مضروب فيه، یعنی رقم 4 از عدد 14 ضرب می کنیم.
در محل جواب، رقم ۲ از عدد ۱۲ و ده بر یک را (به صورت یک نقطه *) می نویسیم:3 ضرب در 4 می شود 12 ، 2 را می نویسیم و ده بر یک را کنارش ثبت می کنیم
مرحله دوم:برای یافتن رقم بعدی جواب، یعنی رقمی که باید زیر رقم ۲ از عدد ۲۳ بیاید، دو عدد را (که حاصل ضرب های جزئی هستند پیدا می کنیم و آنها را به یکدیگر می افزاییم .
اولین آنها ۸ است کهازضرب 2 در 4 حاصل می شود:
دومین حاصل ضرب جزئی از ضرب رقمهای دیگر، یعنی ۳ و ۱ به دست می آید:
حالا دو حاصل ضرب جزئی را با هم جمع می کنیم: ۸ بعلاوه 3 می شود ۱۱. این همان عددی است که می خواستیم. اما ده بر یک را هم باید بیفزاییم، پس رقم بعدی جواب ۱۲ است؛ پس ۲ را می نویسیم و ده بر یک هم داریم :
2 در 4 میشود ۸ ؛ ۳ در ۱ میشود 3 ، ۸ به علاوه 3 می شود 11 ،ده بر یک را هم می افزاییم
مرحله آخر:
رقم سمت چپ مضروب، یعنی رقم ۲ از عدد ۲۳ را در رقم سمت چپ مضروب فيه، یعنی رقم ۱ از 14، ضرب می کنیم:
۲ در ۱ میشود ۲ و با افزودن ده بر یک می شود ۳ .
در این مثال برای محاسبات ذهنی ضرب سریع لازم نشد از صفر سمت چپ که جلو مضروب نوشته ایم استفاده کنیم. اگر عدد ۱۰ یا بیشتر داشتیم، ده بر یک را در جای خالی زیر این صفر می نوشتیم. در این مثال، تنها یک ۳ داشتیم.
در اینجا مرحله دوم، تازگی داشت. برای به دست آوردن یک رقم از جواب، دو رقم را به کار بردیم. حاصل ضرب جزئی ۸ و حاصل ضرب جزئی ۳ را با هم جمع کردیم و از حاصل که ۱۱ بود در نوشتن جواب استفاده کردیم. اعداد ۸ و ۱۱ از ضرب کردن دو جفت رقم به دست آمد که آنها را «جفت بیرونی» و «جفت درونی» می نامیم.3به علاوه 8 می شود 11 ،به علاوه ده بر یک
دستور یافتن این جفت ها چنین است:رقمی از مضروب که به آن رسیده ایم (یعنی، رقمی که درست بالای رقم بعدی جواب که باید بافته شود قرار دارد ) بخشی از «جفت بیرونی» است که در مثال بالا عبارت است از رقم ۲ از عدد ۲۳. رقم دیگر از این «جفت بیرونی» رقم سمت راست مضروب فيه است که در طرف بیرون واقع شده است و در مثال بالا عبارت است از رقم 4 در عدد 14. جفت دیگر که «جفت درونی» متشکل از ۳ و ۱ است از دو رقمی تشکیل می شود که بلافاصله درون رقم هایی که هم اکنون به کار بردیم قرار دارند؛ رقم 3 در عدد 23 و رقم 1 در عدد 14.«جفت بیرونی» و «جفت درونی» را زیاد به کار خواهیم برد ، پس بد نیست در سه مثال زیر آنها را نشان دهیم:
اکنون مثال 38 ضرب در 14 را در نظر بگیرید:
مرحله اول: نخستین کار این است که ۸ را در 4 ضرب می کنیم می شود ۳۲. رقم ۲ را می نویسیم و ۳ را (مثل ده بر یک) نقل می کنیم.
مرحله دوم: برای یافتن عدد بعدی باید از جفتهای بیرونی و درونی استفاده کنیم، رقمی از ۳۸ که اکنون به آن رسیده ایم ۳ است، زیرا ۳ درست بالای محلی است که رقم بعدی جواب را باید در آن نوشت. پس این ۳ بخشی از جفت بیرونی است. رقم دیگر جفت بیرونی چیست؟ یکی از رقمهای 14 که مسلما همان 4 باید باشد، یعنی رقم بیرونی 14. جفت درونی درست داخل این دو قرار دارد (یعنی رقم های ۸ و ۱).
حالا ضرب می کنیم: ۳ در 4 میشود ۱۲، و ۸ در 1 می شود 8 . این دو حاصل ضرب جزئی را که ۱۲ و ۸ هستند با هم جمع می کنیم، حاصل ۲۰ می شود . رقم 3 نقل شده را هم باید افزود ، پس نتیجه ۲۳ می شود . رقم 3 را می نویسیم و ۲ را (که همان بیست بر دو است ) نقل می کنیم.
مرحله آخر:
در آخرین مرحله ضرب سریع روش مستقیم دو رقمی را که در سمت چپ واقع اند ، یعنی رقم ۳ از عدد ۳۸ و رقم 1 در عدد 14 را در هم ضرب می کنیم. حاصل ۳ است. رقم کی نقل شده، حاصل را به ۵ می رساند:
در زیر، دو مثال حل شده داریم برای محاسبات ذهنی ضرب سریع به روش مستقیم که به صورت فشرده نشان داده شده اند. رقم هایی که زیرشان خط کشیده شده، از ستون قبل نقل شده اند. به عنوان تمرین سعی کنید خودتان معلوم کنید که رقمهای سطر «عمل» چگونه به دست آمدهاند :چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
شاید مایل باشید که چند مثال از محاسبات ذهنی ضرب سریع به روش مستقیم را خودتان حل کنید . در زیر چند عمل ضرب برای تمرین، داده شده که جواب آنها نیز در پایان آورده شده است:
اگر قدری در مورد کاری که درضرب سریع روش مستقیم انجام میگیرد تأمل کنید متوجه می شوید که این دستور روالی کاملا طبیعی دارد . می خواهیم دو عدد دو رقمی را در یکدیگر ضرب کنیم. برای این منظور، دو رقم واقع در سمت راست را در هم ضرب می کنیم تا رقم سمت راست جواب پیدا شود .چنانکه در مورد ضرب 23 در 14 ، ابتدا 3 را در 4 ضرب کردیم. برای یافتن رقم سمت چپ جواب، دو رقم واقع در سمت چپ را در هم ضرب می کنیم، چنانکه برای ضرب 23 در 14، رقم ۲ را در 1 ضرب کردیم. ضمنأ ، برای یافتن رقمهای میانی جواب، از جفت های بیرونی و درونی استفاده کردیم.
در ضرب سریع روش مستقیم هر جفت متشکل از دو رقم است که در یکدیگر ضرب می شوند ، پس از هر جفت یک عدد به دست می آید و از جمع کردن این دو عدد ، بخشی از جواب حاصل می شود .در ادامه مطلب نیز از این جفت های بیرونی و درونی استفاده خواهيم کرد. در واقع، این جفت ها بعدا خیلی بیشتر به کار گرفته خواهند شد. البته وقتی خودتان مسئله ای را حل می کنید لزومی ندارد جفتها را با کشیدن خطهای خمیده که به ارقام هر جفت می رسد مشخص کنید.
در شروع بحث، این کار را فقط به خاطر تفهیم بهتر موضوع، انجام دادیم. در موقع کار، عملا می توان جفت بیرونی را با توجه به این نکته مشخص کرد که این جفت شامل رقمی از مضروب است که درست بالای جای خالی بعدی، یعنی محلی که باید رقم بعدی جواب در آن نوشته شود ، قراردارد . جفت درونی، چنانکه خطهای خمیده در نمودار نشان می دهند، متشکل از دو رقمی است که درست داخل دو رقم جفت بیرونی واقع اند.
***امیدوارم مقاله ضرب سریع روش مستقیم براتون مفید بوده باشه ، در مقاله بعدی ادامه همین مبحث رو دنبال خواهیم کرد و از روش مستقیم برای عدد های طولانی تر استفاده تر خواهیم کرد. سوالاتتون رو در قسمت کامنت ها بپرسید و تمرین کنید**
خیلی مفید بود و کامل برای من واقعا فکر نمیکردم بتونم پیدا کنم این مجموعه روش هارو ،حداقل من که نتونستم جایی به این کاملی و روانی پیدا کنم ، میشه هرچی تا الان در مورد روش های ضرب سریع تراختنبرگ نوشتی پی دی افش کنی و تو سایت بزاری؟ ممنون
خواهش میکنم لطف دارید ، سعیم اینه که تمام روش ها رو در مقاله های آتی بزارمشون…
در این مورد که پی دی اف این روش هارو بزاریم ، سعی میکنیم انجامش بدیم
این روشا که خیلی سخته 😐 اگه می خاستیممم این مدلی یاد بگیریم ک همون روش عادیش راحت تره بخدا
😐 بنظرم شما کلا رو ریاضی حساب باز نکن:|
دقیقا کدوم احمقی این روش رو استفاده میکنه خیلی سخت و ممسخره بود
این مسخره ترین روش بود کدوم احمقی از این روش استفاده میکنه روش قبلی هزار برابر ساده تر و راحت تر بودش
نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *
دیدگاه
مســـیر ســـاخت واکسن کرونا و به طور کلـــی داروهـــا، نیازمند ســـالها تحقیق وبررسی است، به طوری که گاهـــی وقتها این مسیر دشوار، بیش از ده…
آلزایمر چیست؟علائم بیماری،پیشگیری و درمان بیمـاری آلزایمـر یـک نـوع اختـلال عملکـرد مغـز اسـت کـه به تدریج حافظه و توانایی هـای ذهنی دیگــر ماننــد تفکــر،…
1.مقدمه آﭘﻮﭘﺘـﻮزﻳﺰ ﻳـﺎ آﭘﻮﭘﺘـﻮز (Apoptosis) مکانیسم طبیعی سلول برای مرگ برنامه ریزی شده است(خودکشی سلولی).این امر بخصوص برای پستاندارن درازعمر [1] بسیار مهم است زیرا…
دانشمندان برای نخستین بار موفق به حذف کامل ویروس HIV از بدن موش به کمک ترکیب تکنولوژی ویرایش ژنی و داروهای ضد ویروسی شدند. در…
پیویو با افتخار در حوزه فروش اینترنتی محصولات معتبر و مورد نیاز برای هموطنان در اقصی نقاط کشور همراه شما خریداران محترم بوده تا لذت یک خرید اینترنتی امن را برای شما به ارمغان بیاورد و این بار با افتخار خدمتی دیگر از پیویو با نام پیویو مگ برای شما علاقه مندان به موضوعات و مباحث روز دنیا در خدمت شما خوانندگان محترم قرار خواهد گرفت. پیویو مگ راهی برای دسترسی آسان به اطلاعات، برای جویندگان می باشد تا زندگی را بر اساس بار اطلاعات غنی موجود بسازند.
کلیه حقوق مادی و معنوی مجله پیویو متعلق به فروشگاه اینترنتی پیویو بوده و هرگونه کپی برداری و انتشار غیرمجاز پیگرد قانونی دارد
در این مقاله قصد داریم ضرب ذهنی سریع در 6 ، 5 و 7 را به شما توضیح دهیم. با این روش های آسان تراختنبرگ ، دیگر هیچ کسی را نخواهید یافت که از ریاضی متنفر باشد .کافیست امتحان کنید و این روش ها را تمرین کنید ، روش هایی که سالهاست در کشور های اروپایی اکادمیک شده و به سبب همین موضوع ، سویسی ها در بانکداری سرامد دنیا شده اند. تراختنبرگ این روش ها را در زندان های نازی ها اختراع کرد و دنیارا متحول کرد ، امیدوارم روش های تراختنبرگ برای شما نیز مفید باشد.در ابتدا ، می خواهیم با محتوای این روش آشنا شویم. نخستین موضوع بحث، شیوه جديد انجام عمل ضرب است: می خواهیم عمل ضرب ذهنی سریع را بدون از برداشتن جدول ضرب انجام دهیم. ناممکن به نظر می رسد ؟ نه تنها ممکن است،بلکه بسیار اسان می باشد. البته باید این توضیح را هم بدهیم که با استفاده از جدول ضرب مخالف نیستیم. بیشتر اشخاص جدول ضرب را خوب بلدند؛ به عبارت دیگر همه آن را از بر کرده اند و فقط ممکن است در چند مورد دچار تردید شوند. ممکن است کسی در مورد هشت هفت تا ، یا شش نه تا قدری شک کند ولی اعداد کوچکتری مثل چهار پنج تا ، برای همه بسیارر ساده می باشد ومانند اب خوردن است. ما با استفاده از این معلوماتی که بزحمت حاصل شده، موافقیم. منظور ما در اینجا انسجام بخشیدن به آن است. راجع به این موضوع دوباره در همین مقاله سخن خواهیم گفت. اکنون می خواهیم برخی عملهای ضرب ذهنی سریع را بدون استفاده از جدول انجام دهیم.
1-با فراگیری این روش شما براحتی در امور روزانه خود سطح بیشتری از ظرفیت مغزی خود را در اختیار خواهدی داشت.
2-ارتباط بین دو نیم کره را افزایش می دهد و موجب پیشرفت فرد در تمامی زمینه های زندگی و تحصیلی می شود.
3-ذهن شما ماننده یک ماشین حساب می شود و مانند ساعت کار میکند.
در ابتدا از ساده ترین این روش ها اغاز میکنیم و در هر مقاله به طور جداگانه به روش های پیشرفته تر و قواعد دیگر این نو از ریاضیات سریع میپردازیم.در مقاله اول به توضیح ضرب ذهنی سریع در عدد یازده پرداختیم ، در مقاله دوم ضرب ذهنی سریع در عدد دوازده را برسی می کنیم ، و اکنون میخواهیم ضرب ذهنی سریع اعداد در پنچ ، شش و هفت را برسی کنیم .امید آن است که برای شما ثمر بخش باشد.
فقط این نکته خیلی مهم است که مقاله ها رو به ترتیب بخونید و از ساده به سخت بروید.
برای ضرب ذهنی سریع در این سه عدد از مفهوم «نصف» یک رقم استفاده می کنیم. کلمه «نصف» را داخل علامت گیومه گذاشته ایم، زیرا نوعی نصف ساده شده است. برای آسان شدن کار ، اگر کسری پیدا شد ، آن را کنار می گذاریم. مثلا، «نصف» ۵ را ۲ می گیریم. هرچند مقدار واقعی آن 2/5 است، اما ما با کسرش کاری نداریم. پس «نصف» ۳ میشود ۱، و «نصف» ۱ صفر است. البته «نصف» 4 همان ۲ است، و در مورد همه عددهای زوج، وضع همین طور است. این مرحله باید فوری انجام شود. نباید بگوییم «نصف 4 می شود ۲» یا چیزی مثل این. نگاه می کنیم به 4 و می گوییم ۲. حالا خودتان این کار را با رقمهای زیر انجام بدهید: چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
۲ ،6 ،4 ،۵ ،۸ ،۷ ،۲ ،۹ ،4 ،3 ،9 ،7 ،6 ،۸ ،۵ ،۹ ،۳ ،۲ ،۱
در رقم های فرد یعنی: ۱، ۳، ۵، ۷ و ۹ این وضع خاص وجود دارد که کسر را حذف می کنیم. اما در رقمهای زوج یعنی ۱، ۲، ۸، ۹ و ۸ همان نتیجه معمولی به کار می رود.
اکنون از مفهوم «نصف» که در بالا گفتیم ، استفاده می کنیم. بخشی از دستور ضرب کردن در 6 چنین است:
هر عدد را با «نصف» همسایه اش جمع کنید. فعلا فرض می کنیم که دانستن همین دستور برای ضرب کردن در 6
کافی است و مسئله زیر را حل می کنیم:
عدد بعدی صفر است. نصف همسایه اش، ۸ را با آن جمع می کنیم. صفر بعلاوه 4 می شود 4، ده بر یک هم داریم:
مرحله اخیر را در مورد عددهای ۲، ۲، 6 و صفر متوالي انجام می دهیم:
می خواهید ببینید چقدر این کار راحت است؟ خودتان دو ضرب زیر را انجام بدهید: حاصل اولین ضرب 26424 و جواب دومی 172130544 است.
با کاری که تا اینجا کردیم، جواب درست مسئله ها پیدا شد. ولی این دستور برای ضرب کردن در 6 کامل نیست. دستور کامل به صورت زیر است:
هر «عدد» را با نصف همسایه اش جمع کنید ؛ اگر «عدد » فرد است،
۵ تا دیگر هم به آن اضافه کنید.
در اینجا «فرد» بودن «عدد » مطرح است و کاری نداریم به این که همسایه» فرد است یا نه. فقط نگاه می کنیم به «عدد » که ببینیم فرد است یا زوج.
اگر زوج بود ، نصف همسایه اش را با آن جمع می کنیم. اگر فرد بود ، اول ۵ تا به آن می افزاییم و بعد «نصف» همسایه را ، همان طور که در بالا عمل کردیم. مثلا ضرب زیر را در نظر بگیرید :
رقمهای ۳ و ۵ فرد هستند. این موضوع با یک نگاه به مضروب معلوم می شود. وقتی ضمن عمل به این ۳ و ۵ می رسیم، باید با توجه به فرد بودن این رقمها یک ۵ دیگر هم به مجموع بیفزاییم. این ضرب چنین انجام می شود :
۲ زوج است و همسایه ندارد ؛ آن را عینا در زیر می نویسیم
5 فرد است! ۵ به علاوه ۵ بعلاوه «نصف» ۲ می شود 11
«نصف» ۵ می شود 2 ؛ ده بریک را هم با آن جمع می کنیم
3 فرد است! ۳ بعلاوه ۵ می شود ۸
4 بعلاوه «نصف» ۳
صفر بعلاوه «نصف» 4
جواب 2,658,312 است. البته این همه توضیح، صرفا به خاطر آن است که در آغاز استفاده از این روش، موضوع تا حد امکان روشن تر شود . عملا این کار سریعتر انجام می شود زیرا مرحله جمع کردن با نصف همسایه، بسیار ساده است. با قدری تمرین، این روش جنبه آگاهانه خود را از دست می دهد و به حالت خودکار در می آید. شاید با انجام دو ضرب زیر، این موضوع برایتان روشن تر شود :
حاصل اولین ضرب 49404 و حاصل دومیین ضرب 37501128 است.
اعدادی که آنها را در 6 ضرب کردیم نسبتا طولانی بودند.
آیا این روش برای عددهای یک رقمی مثلا ۸ ضرب در 6 هم قابل استفاده است؟
بله، هست، بی آنکه هیچ تغییری لازم شود . مثلا ببینیم با این روش حاصل ۸ ضرب در 6 چه می شود:
همسایه وجود ندارد؛ ۸ بعلاوه «نصف» همسایه همان 8 صفر بعلاوه «نصف» ۸ می شود 4
وقتی عددی که در6 ضرب می شود فرد باشد، مثل ۷، در مرحله اول باید ۵ را اضافه کنیم. البته در مرحله دوم آن را اضافه نمی کنیم، زیرا صفر عدد زوج به شمار می آید:چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
7به علاوه 5 ، به علاوه نصف هیچصفر بعلاوه «نصف» 7 ، بعلاوه «ده بر یک»
احتمالا اغلب اشخاص فکر می کنند که جدول ضرب را برای ۹ از بر هستند. شاید بیش از نصف کسانی که مستقیما با ریاضیات سرو کار ندارند، از این لحاظ به خود مطمئن هستند، گر چه این احساس همیشه بجا نیست. اما در اینجا مسئله تنها این نیست. شیوه هایی که در این روش ضرب به کار می رود ، بعدا در موارد پیچیده تری مورد استفاده مجدد قرار خواهد گرفت و صرف نظر از اینکه جدول ضرب را از بر باشیم یا نباشیم به آنها نیاز خواهیم داشت. بهترین راه مطرح کردن این روشهای جدید، به کار گرفتن آنها در مواردی است که قبلا با آنها آشنا هستیم. در اینجا هم همین راه را در پیش گرفته ایم.
بعلاوه (نکته ای که اهمیتش بیش از آن است که به نظر می رسد )، این شیوه نقطه آغازی برای کسب عادتهای ذهنی مناسب در محاسبه است. لابد شما هم مطالبی در مورد عادتهای اشخاص عادی در مطالعه، و موسساتی که مهارت در تند خوانی را پرورش می دهند، شنیده اید. صاحب نظران می گویند خیلی از اشخاص عادت دارند نوشته ها را حرف به حرف بخوانند، و آنچه را می خوانند هجی می کنند، یا دست کم تا حد زیادی این کار را انجام می دهند. باید در خود این عادت را ایجاد کنیم که هنگام خواندن، تمام کلمه یا عبارت را یکجا تشخیص دهیم. نکته های دیگری هم مطرح شده است. خلاصه مطلب این است که: اغلب اشخاص بد مطالعه می کنند زیرا عادتهای آنان در خواندن کار آمد نیست.
این موضوع کلی، از بعضی لحاظ در مورد حساب هم صادق است. وقتی کسی عادتهای بدی در نحوه انجام اعمال حساب کسب کرد ، نتیجه این می شود که بخشی از وقت و انرژی خود را به هدر دهد. تنها کسانی چون حسابدارها که اغلب وقتشان صرف کار با اعداد می شود ، سرانجام دستورالعملهای مناسبی برای خود پیدا می کنند . سایر افراد ، حتی اگر در شغل روزمره خود با محاسبات سرو کار نداشته باشند، با اندک پشتکار و تمرین می توانند این روشها را یاد بگیرند. در این مقاله و مقاله های بعد به برخی از این موارد خواهیم پرداخت.
یکی از این مراحل ذهنی را که بسیار ساده هم هست، قبلا در بیان کاربرد «نصف» همسایه ، ذکر کردیم. تمرین ساده ای که آنجا می کردیم این بود که با نگاه کردن به یک رقم مثل ۲ یا ۸، بلافاصله می گفتیم ۱ یا 4، بی آنکه از هیچ مرحله ذهنی عبور کرده باشیم. جواب باید به محض دیدن ۲ یا ۸ در ذهن نقش ببندد، چنانکه به صورت یک عمل بازتابی در آید. جا دارد که خواننده به رقمهایی که برای تمرین ذکر کرده ایم برگردد و شخصا یک بار دیگر آنها را انجام دهد.
یکی دیگر از مراحل ذهنی درست، آن است که تنها نتیجه افزودن همسایه، یا نصف همسایه را بگوییم، مثلا در اینحا : (ضرب ذهنی در 6 ، 5 و 7)
رقم ۸ مجموع 6 و نصف 4 است. اما نباید بگوییم. «نصف 4 می شود ۲، و 6 به علاوه ۲ می شود ۸». بلکه به 6 و 4 نگاه می کنیم، می بینیم نصف 4، ۲ است و با خود می گوییم «6، ۸». این کار در آغاز دشوار خواهد بود ، بنابراین بهتر است با خود بگوییم «6، ۲، ۸».
مرحله دیگری که به تمرین نیاز دارد ، مرحله افزودن ۵ است، وقتی که عدد (و نه همسایه) فرد باشد. مثال زیر را در نظر بگیرید:
در اینجا همان طور که از نقطه «ده بر یک» بر می آید ، صفر متعلق به ۱۰ است و ۱۰ مجموع ۳ و ۵ (زیرا ۳ فرد است و ۲ (نصف 4) است. روال درست آن است که ابتدا بگوییم «۵، ۸، ۲، ۱۰». پس از مدتی تمرین با این روش، سرانجام می توانیم آن را به صورت «۸، ۱۰» کوتاه کنیم. رقم ۵ را که به فرد بودن ۳ مربوط است اول می آوریم، زیرا در غیر این صورت ممکن است افزودن آن فراموش شود.
به همین ترتیب، وقتی نقطه ای به نشانه «ده بر یک» داریم باید آن را قبل از همسایه (برای ضرب در ۱۱) یا نصف همسایه (برای ضرب در 6) جمع کنیم. اگر بخواهيم «ده بر یک» را به بعد از افزودن همسایه موکول کنیم، گاهی آن را فراموش خواهیم کرد. در مثال بالا، رقم بعدی به صورت زیر بافته می شود:
به 6 نگاه می کنیم و با افزودن «ده بر یک» می گوییم «7»؛ سپس با افزودن «نصف» ۳ می گوییم 8 ، بهتر است در اوایل کار، به 6 نگاه کنیم و با افزودن «ده بر یک» بگوییم «7»، سپس به عنوان «نصف» ۳ بگوییم «۱»، بعد هم «۸»، و ۸ را بنویسیم.
وقتی هم «ده بر یک» و هم ۵ (مربوط به فرد بودن) باید افزوده شوند، به جای «۵» می گوییم «6» و سپس خود عدد را می افزاییم. این کار یک مرحله را حذف می کند و براحتی می توان به آن عادت کرد.
حالا مداد و کاغذ بردارید و سعی کنید در انجام مثالهای زیر،تنها از مرحله های ذهنی درست استفاده کنید.جوابها در دنباله مثال ها دادهشده اند.
ضرب در یازده (با همسایه جمع کن):
ضرب در دوازده (دو برابر کن و با همسایه جمع کن)
ضرب در شش (با ۵ برای فرد ، و با نصف همسایه جمع کن)
جوابها به قرار زیرند:
1. 46,552 5. 13,332 9. 17,436 2. 522,412 6. 12,024 10. 31,464 3. 50,784 7. 25,392 11. 23,190 4. 569,904 8. 28,488 12. 24,666
دستور ضرب ذهنی سریع اعداد در هفت خیلی شبیه دستور ضرب کردن در شش است:
عدد را دو برابر کنید و با نصف همسایه جمع کنید ؛ اگر عدد فرد است ۵ را هم به آن بیفزایید .
فرض کنید می خواهیم 4242 را در ۷ ضرب کنیم. در این عدد هیچ رقم فردی وجود ندارد، بنابراین نیازی به افزودن ۵ اضافی نخواهیم داشت. برای حل این مثال، مثل مورد ضرب در شش عمل می کنیم با این تفاوت که در اینجا «عدد » دو برابر می شود:
عدد 2 را دو برابر می کنیم
دو برابر 4 بعلاوه نصف همسایه
دو برابر ۲ بعلاوه نصف همسایه
دو برابر صفر همان صفر است ، نصف همسایه به آن افزوده می شود
– حالا مثال دیگری می زنیم که رقمهای فرد داشته باشد . رقمهای ۳ و 1 هر دو فرد هستند:
2 ، دو برابر می شود ؛ همسایه هم ندارد
دو برابر ۱، بعلاوه ۵ ، زیرا ۱ فرد است، می شود ۷، بعلاوه نصف ۲
فرد نیست؛ دو برا بر 4 بعلاوه نصف ۱
دوبرابرصفر، صفراست ولی نصف ۳ و «ده بر یک» با آن جمع می شود.
ضرب ذهنی سریع درست به قرار زیر است:1. اگر «ده بر یک» داشته باشیم، می گوییم «۱».2. سپس به عدد بعدی نگاه کنیم تا ببینیم آیا فرد است یا نه. اگر بود ، ۵ را به ده بر یک می افزاییم، می گوییم «6»، یا اگر ده بر یک نداشتیم می گوییم «۵».3. به عدد نگاه می کنیم و آن را به طور ذهنی دو برابر می کنیم، مجموع ۵ و این رقم دو برابر شده را می گوییم. اگر مثلا رقم 3 بود،می گوییم «۵»، سپس می گوییم «۱۱» زیرا دو برابر کردن ۳ که می شود 6 : و افزودن ۵ به آن را می توان در یک مرحله انجام داد.
4.با نگاه کردن به همسایه، که مثلا 6 است، نصف آن را به آنچه قبلا داشته ایم می افزاییم. در بالا به ۱۱ رسیده بودیم. اگر همسایه 6 باشد ، حالا می گوییم «14».
حالا بد نیست قدری با این روش کار کنیم. پرورش ذهن برای این کار خیلی با ارزش است زیرا قدرت تمرکز را افزایش می دهد و تمرکز هم عملا کلید اصلی موفقیت است. اما این پرورش به طور آنی صورت نمی گیرد و برای این کار می توانیم چند گام مشخص را به شیوه زیر دنبال کنیم:
اول: به هر یک از رقمهای زیر نگاه کنید و بلافاصله، بدون طی هیچ مرحله میانی، دو برابر عدد را به صدای بلند بر زبان آورید (با نگاه کردن به 3، فورا بگویید «6» بدون اینکه «3» را به زبان بیاورید ):
2, 4, 1, 6, 0, 3, 5, 1, 4, 3, 8, 2, 6, 3,
7,5, 9, 2, 1, 0, 6, 3, 5, 2, 6, 8, 7, 4
دوم: در هر جفت از عددهای زیر، به رقم سمت چپ نگاه کنید و دو برابر آن را به صدای بلند بگویید (به ۳ نگاه کنید و بگویید «6»)، سپس همسایه را با آن جمع کنید (برای جفت 34 بگویید «15 ، 6»). این روش سریع ضرب اعداد در ۱۲ است:
سوم : در هر جفت از اعداد زیر، به رقم سمت چپ نگاه کنید و دو برابر آن را به صدای بلند بگویید ، سپس نصف همسایه را با آن جمع
کنید (به جفت 6 2 نگاه کنید ، بگویید «۷، 4 »). این کار همان «ضرب در ۷» برای عددهای زوج است: چهارم :در مورد هر یک از عددهای زیر، به عدد نگاه کنید و بگویید «۵»، سپس ۵ بعلاوه دو برابر آن عدد را بر زبان آورید (با نگاه کردن به 3، بگویید «11، ۵»):
7, 5, 3, 1, 9, 3, 7, 5, 1حالا دوباره این تمرین را تمام انجام دهید
پنچم: در هرجفت از اعداد زیر، به عدد سمت چپ نگاه کنید، بگویید «۵»، سپس ۵ بعلاوه دو برابر عدد را مثل گام قبل، بر زبان آورید ، بعد از آن بلافاصله نصف همسایه را هم بیفزایید و حاصل افزودن این نصف را بگویید (برای 3 4 بگویید «۱۳، ۱۱، ۵»)؛ این همان ضرب کردن عدد های فرد در ۷ است:
حالا ببینید با چه سرعتی می توانید اعداد را در ۷ ضرب ذهنی سریع کرد . ابتدا اعداد زیر را ضرب کنید که همگی زوج هستند و لزومی به افزودن ۵ در آنها نیست ، فقط باید عدد را دو برابر کنید و با نصف همسایه جمع کنید:
در پایان به اعدادی می پردازیم که ارقام فردی هم دارند و باید ۵ را به انها افزوده شود:
دستور ضرب ذهنی سریع اعداد در پنج ، شبيه دستورهای مربوط به 6، 7 ولی از آنها ساده تر است. به جای افزودن به «عدد » که در مورد 6 داشتیم، یا دو برابر کردن آن در مورد ۷، در اینجا فقط به «عدد » نگاه می کنیم. نگاه می کنیم ببینیم عدد فرد است یا زوج. اگر فرد بود، مثل گذشته ۵ را به آن می افزاییم .نصف همسایه، بعلاوه ۵ اگر عدد فرد است.
فرض کنید می خواهیم 426 را در ۵ ضرب ذهنی سریع کنیم:
ابتدا به 6 نگاه می کنیم، زوج است؛ پس لازم نیست ۵ را بیفزاییم ، همسایه هم وجود ندارد .به ۲ نگاه می کنیم، زوج است؛ نصف 6 را اختیار می کنیم
به 4، نگاه می کنیم، زوج است؛ نصف ۲ را می گیریم
به صفر نگاه می کنیم، زوج است، نصف همسایه را در زیر می نویسیم .
حال اگر در مضروب رقم فردی موجود باشد، ۵ را می افزاییم:
مثل گذشته 3 فرد است؛ ۵ بعلاوه ۳ را می گیریماین کار آسان است. با ارقام خیلی کمتر کار داریم. هر چند اندکی غیر عادی به نظر می رسد چون نوعی شگرد ذهنی به میان می آید: در موضعی که مشغول کاریم، به جای عدد از همسایه استفاده می کنیم. در واقع این تمیرین خوبی است که موضع عمل را گم نکنیم. بعدها، برای ضرب ذهنی سریع عددی طولانی در عدد طولانی دیگر، خواهیم دید که برای به خاطر سپردن موضع خود در مضروب، به میزان معینی تمرکز نیاز داریم. این روش ضرب ذهنی سریع اعداد در ۵، تا حدی یک تمرین مقدماتی است.اعداد زیر را با روشی که در بالا گفتیم، در 5 ضرب کنید :
جواب ها به صورت زیرند:
امیدوارم آموزش ضرب ذهنی سریع براتون مفید باشه..فقط تمرین رو فراموش نکنید ، این روش ها واقعن کارساز هستند و میتونند قدرت واقعی مغزتون رو به رخ شما بکشند.هر سوالی داشتید در کامنت ها جواب می دهم.
ضرب ذهنی اعداد در 6ضرب ذهنی در عدد یازدهضرب اعداد در ۸ و ۹ ضرب اعداد در چهار محاسبات سریع ذهنی روش مستقیم برای اعداد طولان
ضرب در عدد ۵ رو کامل توضیح ندادید
سلام وقت بخیر ضرب عدد 5 در همه جا درست در نمیاد به نظر منم کامل نیست میشه توضیح بدید
ضرب در ۵ خیلی آسونه باید عددی که در ۵ ضرب میشه رو اول بر دو تقسیم کنید و بعد در ۱۰ ضرب کنید به همین راحتی
مثال
=۵۰×۵
پنجاه تقسیم بر دو میشه ۲۵ بعد ۲۵ رو بر ۱۰ ضرب میکنیم میشود ۲۵۰
این روش بر عدد های فرد هم صحیح است
ضرب در پنج خیلی آسونه شاید یه وقتایی غلط دربیاد باید تلاش کنیم تا خودمون هم کاری کنیم فکری کنیم تا جواب صحیح رو با فرمولی که صحیحه و خودمون پیداش کردیم انجام بدیم عاشورا را تسلیت می گویم
سلام پنج همه جا درست در نمیاد یه راه حل خودم پیدا کردم اگر بخوایم به عنوان مثال ۲۰۴۰رو ضربدر ۵ کنیم اگر زوج بود تقسیم بر دو می کنیم بعدش یک صفر میزاریم جلوش اگر فرد بود تقسیم بر دو می کنیم بعدش یه نیم هم در میاد مثلا ۳ میشه ۱و نیم آن نیم را به عدد تبدیل می کنیم یعنی ۱.۵ را به ۱۵ تبدیل می کنیم یا نقطه ممیز را بر می داریم بعد به جواب می رسیم با تشکر طاها باج 🙏🙏
نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *
دیدگاه
مســـیر ســـاخت واکسن کرونا و به طور کلـــی داروهـــا، نیازمند ســـالها تحقیق وبررسی است، به طوری که گاهـــی وقتها این مسیر دشوار، بیش از ده…
آلزایمر چیست؟علائم بیماری،پیشگیری و درمان بیمـاری آلزایمـر یـک نـوع اختـلال عملکـرد مغـز اسـت کـه به تدریج حافظه و توانایی هـای ذهنی دیگــر ماننــد تفکــر،…
1.مقدمه آﭘﻮﭘﺘـﻮزﻳﺰ ﻳـﺎ آﭘﻮﭘﺘـﻮز (Apoptosis) مکانیسم طبیعی سلول برای مرگ برنامه ریزی شده است(خودکشی سلولی).این امر بخصوص برای پستاندارن درازعمر [1] بسیار مهم است زیرا…
دانشمندان برای نخستین بار موفق به حذف کامل ویروس HIV از بدن موش به کمک ترکیب تکنولوژی ویرایش ژنی و داروهای ضد ویروسی شدند. در…
پیویو با افتخار در حوزه فروش اینترنتی محصولات معتبر و مورد نیاز برای هموطنان در اقصی نقاط کشور همراه شما خریداران محترم بوده تا لذت یک خرید اینترنتی امن را برای شما به ارمغان بیاورد و این بار با افتخار خدمتی دیگر از پیویو با نام پیویو مگ برای شما علاقه مندان به موضوعات و مباحث روز دنیا در خدمت شما خوانندگان محترم قرار خواهد گرفت. پیویو مگ راهی برای دسترسی آسان به اطلاعات، برای جویندگان می باشد تا زندگی را بر اساس بار اطلاعات غنی موجود بسازند.
کلیه حقوق مادی و معنوی مجله پیویو متعلق به فروشگاه اینترنتی پیویو بوده و هرگونه کپی برداری و انتشار غیرمجاز پیگرد قانونی دارد
محاسبه ذهنی شامل محاسبات ریاضی تنها با استفاده از توانایی‌های مغز انسان بدون کمک ماشین حساب، کامپیوتر، خودکار یا کاغذ است.
برای نمونه می‌توان از روشهای محاسبه یاکوف تراختنبرگ و بیل هندلی نام برد.
در این روش عمل محاسبه بدون استفاده از جدول ضرب و صرفاً به وسیله عمل جمع انجام میگیرد. به کمک این روش به صورت ذهنی می‌توان به راحتی اعداد بسیار بزرگ را در هم ضرب و جواب صحیح را بدست آورد.
به عنوان مثال برای ضرب ۴۱۳×۱۲ به روش زیر عمل میشود:
روش‌هایی که موجب تسهیل عملیات جمع ذهنی می‌شوند همگی زیر دستهٔ این موضوع قرار میگیرد. بدین ترتیب روش‌هایی که هیچگونه تشابهی به روشهای در مدرسه ندارند پدید آمده‌است؛ که سرجمع آنها مطابق زیر است.
بر طبق این روش ابتدا می‌بایست رقمهایی که دارای ارزش بالاتری هستند را با هم جمع میکنیم (در هر مرحله) در صورتی که مجموع از بالاترین ارزش این مرتبه فزون کند، یک واحد به مرتبهٔ بالایی اضافه میشود؛ و همین الگو ادامه و تکرار پیدا میکند.
داستان 5
براي ضرب هر عددي در 5، عدد را بر 2 تقسيم کن و يک صفر مقابل آن بگذار.
براي تقسيم هر عدد بر 5 آن عدد را 2 ضرب کن و يک رقم به اعشار برو.
چگونه ضرب ذهنی انجام دهیم
ضرب و تقسيم عددها در 25
براي ضرب در 25 دو بار بر 2 تقسيم کن و دو صفر مقابلش بگذار.
براي تقسيم بر 25 دو بار در 2 ضرب کن و دو رقم به اعشار برو.
براي ضرب در 125 سه بار بر 2 تقسيم کن و سه صفر مقابل آن بگذار.
براي تقسيم بر 125 سه بار در 2 ضرب کن و سه رقم به اعشار برو.
مجذور کردن عددهايي که يکان آنها 5 است
مجذور کردن عددهايي که دهگان آنها 5 است
ضرب عددهاي مختلف در عدد 15
ضرب عددهاي مختلف در عدد 75
دو بار بر دو تقسيم کن، در 3 ضرب کن و دو صفر سمت راستش بگذار.
امتحان عمل ضرب
ضرب در عدد 11 و …
ضرب در عدد 9
تقسيم بر عدد 9 و …
ضرب يک هاي متوالي
الف)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان باشد:
ب)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان نيست:
ضرب دو عدد به وسيله ميانگين آنها
مجذور نصف تفاضل دو عدد را از مجذور ميانگين آنها کم کن.
در انتها، مروري کلي داريم بر مطالب اين مقاله:
يک روش جالب براي ضرب ذهني بعضي از اعداد خاص:
آيا مي‌توانيد ضرب‌هاي زير را به صورت ذهني انجام دهيد ؟
25*25،
94*96،
107*103،
206*204،
81*89،
991*999
،59*51 و…قاعده کلي : ضرب ذهني دو عدد که
مجموع رقم يکان آنها ده باشد و ساير ارقام دو عدد با هم برابر باشند به صورت
زير انجام ميگيرد .
ابتدا دو رقم يکان را در هم ضرب
نموده و عدد حاصله را به عنوان رقم يکان و دهگان حاصاضرب ، کنار مي‌گذاريم ، ( دقت شود که اگر رقم يکان يکي از دو عدد 1 بود بايد سمت چپ حاصل
ضرب حتما عدد صفر قرار گيرد ) سپس ، به باقيمانده ارقام عدد 1 را اضافه نموده و در خودش ضرب مي کنيم. مثال : حاصل 107 * 103 چه‌قدر
است؟
جواب : ابتدا 3 را در 7 ضرب نموده که مي‌شود 21
، سپس به 10 يک واحد اضافه مي‌کنيم که مي‌شود 11 و اگر 11 را در خود عدد ( يعني 10 ) ضرب کنيم مي‌شود 110 پس جواب اين حاصلضرب مي‌شود : 11021 حاصل 99 * 91 چقدر است؟
جواب : ابتدا 9 را در 1 ضرب مي‌کنيم که مي‌شود 9 ( البته طبق نکته فوق
الذکر، بايد 09 در نظر بگيريم ) ، سپس به عدد 9 يک واحد اضافه مي‌کنيم که مي شود 10 و اگر 10 را در خود عدد ( يعني 9 ) ضرب کنيم مي‌شود 90 ، بنابراين جواب اين حاصلضرب 9009 خواهد بود.
روش ضرب اعداد دو رقمی
روش ضرب اعداد دو رقمی
