چگونه ذهنی جذر بگیریم

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

امروزه برای محاسبه جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد از ماشین حساب استفاده می‌کنیم. در اغلب تلفن‌های همراه نیز برنامه ماشین حساب وجود دارد که می‌توانیم از آن‌ها برای انجام محاسبه مجموع خرید روزانه، باقی پول خرید و غیره استفاده کنیم. ولی اگر تلفن همراه‌تان در دسترس‌تان نباشد چه کاری باید کرد؟ تنها راه باقی‌مانده، استفاده از محاسبات بخصوص جمع و تفریق ذهنی است. ولی شاید این کار وقت‌گیر بوده و احتیاج به کاغذ و خودکار داشته باشد؛ نگران نباشید. روش‌هایی وجود دارند که محاسبات جمع و تفریق ذهنی را برایتان، راحت و ساده می‌کنند. در این نوشتار به جمع و تفریق ذهنی و سریع اعداد صحیح می‌پردازیم و از رمزهای آن آگاه خواهیم شد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

در مطلبی که در ادامه آمده است با استفاده از مجموعه اعداد صحیح، محاسبات را انجام می‌دهیم. برای آشنایی بیشتر با این اعداد می‌توانید مطالب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن متن جمع در اکسل — به زبان ساده و تفریق در اکسل — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

شاید به نظرتان افرادی که جمع و تفریق ذهنی را انجام می‌دهند، نابغه باشند. ولی آن‌ها به کمک روش‌هایی ساده، این عملیات را به سرعت انجام می‌دهند.

همانطور که در عنوان این مطلب دیده می‌شود، هدف در جمع و تفریق ذهنی پیدا کردن روش‌هایی است که به کمک آن‌ها بتوانیم به راحتی و البته با سرعت، نتایج جمع و تفریق ذهنی دو عدد را پیدا کنیم. با توجه به روابطی که بین دو عدد وجود دارد، روش‌های مختلفی برای جمع‌ و تفریق ذهنی آن‌ها ایجاد شده است. البته همیشه عمل جمع یا تفریق به صورت عادی، نتیجه بخش خواهد بود ولی در اینجا به دنبال سرعت بخشیدن به عمل جمع و تفریق ذهنی هستیم.چگونه ذهنی جذر بگیریم

نکته: به این موضوع توجه داشته باشید که عملیاتی که در ادامه مرتبط با جمع و تفریق ذهنی بوده و مورد بحث قرار می‌گیرد از خاصیت‌های جابجایی، شرکت‌پذیری و پخشی عملگرهای ریاضی استفاده می‌کنند تا انجام محاسبات را به شکلی درآوردند که برای ذهن ما ساده‌تر باشد.

برای شروع کار به جمع‌کردن ذهنی اعداد می‌پردازیم. ابتدا برای جمع ساده برای اعداد یک رقمی و سپس نوع خاصی از اعداد دو رقمی روش‌هایی را معرفی کرده، سپس برای جمع اعداد مختلف، راه‌کارهایی را ارائه می‌کنیم.

زوج اعداد زیر را در نظر بگیرید:

۱ و 9

2 و ۸

۳ و ۷

۴ و ۶

۵ و ۵

همانطور که می‌بینید مجموع هر یک از این زوج‌ها برابر با مقدار ۱۰ است. هر چند این موضوع را همه می‌دانند ولی استفاده از آن برای انجام عملیات جمع و تفریق بسیار کارساز است. اجازه دهید این زوج اعداد را به عنوان اعداد زیبا نام‌گذاری کنیم. به این ترتیب هر گاه هنگام جمع کردن به این زوج‌ها برخوردید، می‌دانید که مجموعشان برابر با ۱۰ است.

یکی از نکات جالبی که در جمع‌کردن اعداد دو رقمی خاص به کار می‌رود، جمع اعداد مقلوب است. البته برای تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز قاعده‌ای وجود دارد که در ادامه با آن‌ها آشنا خواهیم شد. ابتدا تعریف دو عدد مقلوب را ارائه می‌دهیم.

دو عدد را مقلوب یکدیگر می‌گویند، اگر یکی از آن‌ها با تغییر ترتیب ارقام دیگری ساخته شده باشد. برای مثال عدد ۱۴ , 41 مقلوب یکدیگر هستند، زیرا ترتیب قرارگیری ۴ و ۱ در چهارده و چهل و یک، عکس یکدیگر است. اعداد ۵۳ و ۳۵، ۹۸ و ۸۹ نیز از این گونه هستند.

واضح است که نتیجه جمع یکان این گونه اعداد با مجموع ده‌گان آن‌ها برابر است. به این ترتیب کافی است که مجموع ارقام یکان این دو عدد را با یکدیگر جمع کرده و در عدد ۱۱ ضرب کنیم تا حاصل جمع آن دو عدد حاصل شود.

برای مثال جمع ۱۴ و ۴۱ یا ۵۳ و ۳۵ و همچنین ۹۸ و ۸۹ به شکل زیر بدست می‌آید.

$$ large 1 , 4 + overbrace{ 4 ; 1 }^{ 4 + 1 = 5 } = 5 times 11 = 55 $$

$$ large 5 , 3 + overbrace{ 3 ; 5 }^{ 3 + 5 = 8 } = 8 times 11 = 88 $$

$$ large 9 , 8 + overbrace{ 8 ; 9 }^{ 8 + 9 = 17 } = 17 times 11 = 187 $$

در ادامه روش‌های عدد مبنا، شکست و تجزیه، دزدی رقم و روش ترکیبی را فرا گرفته و برای جمع کردن به کار می‌گیریم.

با توجه به اهمیت یادگیری انجام اعمال جبری بدون نیاز به ماشین حساب، «فرادرس» اقدام به انتشار فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی در قالب یک آموزش ۲ ساعت و ۲۰ دقیقه‌ای کرده که در ادامه متن به آن اشاره شده است.

در تکنیک عدد مبنا، یک مقدار عددی که محاسبات براساس آن ساده‌تر است را به عنوان معیار قرار داده و سعی می‌کنیم یک یا هر دو عدد مربوط به جمع را برحسب آن بنویسیم. معمولا عدد مبنا می‌تواند ۱۰ یا ۵ باشد. انتخاب این عدد براساس دانشی است که برای جمع کردن اعداد داریم. برای مثال ممکن است فردی جمع اعداد را با ۸ به خوبی انجام دهد. بنابراین بهتر است عدد مبنا را ۸ انتخاب کند.

نکته: این روش برای زمانی که یکی از عددهای جمع، تک رقمی است، با سرعت عمل می‌کند.

در ادامه با استفاده از مثال‌هایی با تکنیک عدد مبنا آشنا خواهیم شد. توجه داشته باشید که عدد مبنا را مقداری انتخاب کنید که با استفاده از تجزیه یکی از اعداد و جمع با عدد دیگر به آن می‌رسید.

مثال ۱

فرض کنید قرار است دو عدد ۱۵ و ۸ را با یکدیگر جمع کنیم.

$$ large 15 + 8 $$

واضح است که این جمع از ۲۰ بزرگتر است. بنابراین ۲۰ را مبنا قرار می‌دهیم. مقدار ۸ را به ۵ و ۳ تفکیک می‌کنیم، زیرا ۱۵ برای آنکه به ۲۰ تبدیل شود، احتیاج به ۵ واحد دارد. پس خواهیم داشت:

$$ large 15 + underbrace{ 5 + 3 }_8 $$

به این ترتیب مجموع ۱۵ و ۵ که برابر با ۲۰ است را در ذهن قرار می‌دهیم.

$$ large underbrace{20}_{ 15 + 5 } + 3 $$

به این ترتیب جمع را به صورت زیر تکمیل می‌کنیم.

$$ large 20 +  3 = 23 $$

مثال ۲

حاصل مجموع ۶۳ و ۹ را با تکنیک عدد مبنا به صورت زیر در ذهن حل می‌کنیم. از آنجایی که مجموع این دو عدد از ۷۰ بزرگتر است، عدد مبنا را ۷۰ (که مضربی از ۱۰ است) انتخاب می‌کنیم.

$$ large 63 + 9 $$

چگونه ذهنی جذر بگیریم

حال مراحل زیر را طی می‌کنیم. مشخص است که برای رسیدن به ۷۰ باید ۷ واحد به ۶۳ اضافه شده و ۷ واحد از ۹ نیز کاسته شود.

$$ large 63 + underbrace{ 7 + 2 }_9 $$

در این مرحله، عدد مبنا را بدست می‌آوریم.

$$ large underbrace{70}_{ 63 + 7 } + 2 $$

در نهایت، نتیجه را با ۲ جمع می‌کنیم.

$$ large 70 + 2 = 72 $$

مثال ۳

۱۱۷ و ۶ را با تکنیک عدد مبنا با یکدیگر جمع بسته و مراحل را نشان می‌دهیم.

$$ large 117 + 6 $$

از آنجایی که این جمع از ۱۲۰ بزرگتر است، مبنا را ۱۲۰ انتخاب می‌کنیم. از طرفی وجود صفر در رقم یکان آن، جمع با اعداد بعدی را برای عدد مبنا ساده‌تر می‌کند.

پس خواهیم داشت:

$$ large 117 + underbrace{ 3 + 3 }_6 $$

حال محاسبات را ادامه می‌دهیم.

$$ large 117 + 3 + 3 = 120 + 3 = 123 $$

در این روش با شکستن یک عدد و تجزیه آن به عوامل دیگر، عمل جمع را ساده‌تر کرده و محاسبات را به صورت ذهنی انجام می‌دهیم. به این ترتیب اعداد را برمبنای رقم‌های یکان، دهگان و … جمع می‌کنیم.

برای آشنایی با این تکنیک نیز از چند مثال استفاده می‌کنیم.

مثال 4

حاصل جمع ۱۲ و ۸۸ را به کمک روش شکست و تجزیه بدست می‌آوریم. ۱۲ و ۸۸ را بر حسب یکان و دهگانشان جداگانه می‌نویسم. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large underbrace{ 10 + 2 }_{12} + underbrace{ 80 + 8 }_{88} $$

حال، یکان‌ها را جداگانه و دهگان‌ها را هم جداگانه جمع می‌کنیم، زیرا می‌دانیم که جمع دارای خاصیت شرکت‌پذیری است. واضح است که در اینجا از جمع اعداد زیبا که در بالا به آن اشاره کردیم، استفاده خواهیم کرد. پس داریم:

$$ large underbrace{10 + 80}_{90} + underbrace{ 2 + 8 }_{10} $$

از آنجایی که ۸+۲ شامل یک ده بر یک خواهد بود، باید به دهگان یک واحد اضافه کنیم. پس حاصل جمع برابر است با ۱۰۰.

$$ large 80 + 10 + 10 = 100 $$

نکته: می‌توانستیم برای جمع این دو عدد از شکست و تجزیه به صورت دیگری هم استفاده کنیم. راه حل دیگر در ادامه آورده شده است.

$$ large 12 + 88 = 10 + 2 + 88 = 10 + 90 = 100$$

حتی این کار را با تجزیه ۸۸ نیز می‌توان انجام داد:

$$ large 12 + 88 = 12 + 8 + 80 = 20 + 80 = 100 $$

بنابراین ممکن است به هر شکلی که برایتان راحت‌تر است، شکست و تجزیه را انجام دهید ولی همیشه نتیجه جمع یکسان خواهد بود.

مثال ۵

حاصل جمع 36 و ۷۲ را با روش شکست و تجزیه انجام می‌دهیم. ابتدا اعداد را به تفکیک یکان و دهگان می‌نویسیم.

$$ large underbrace{30 + 6}_{36} + underbrace{ 70 + 2 }_{72} $$

به کمک خاصیت شرکت‌پذیری عمل جمع می‌نویسیم، مشخص است که بخش اول شامل جمع دهگان‌ها و بخش دوم جمع یکان‌ها را محاسبه کرده است.

$$ large underbrace{ 30 + 70 } + underbrace{ 6 + 2 } $$

به این ترتیب حاصل جمع برابر با ۱۰۸ خواهد بود.

$$ large underbrace{100}_{ 30 + 70 } + underbrace{8}_{6 + 2}= 100 + 8 = 108 $$

در این تکنیک، برای جمع دو عدد، یک واحد از یکی از اعداد دزدیده شده و به عدد دیگر داده می‌شود. به این ترتیب به اصطلاح می‌گویند «یکی از اعداد گدا و دیگری ثروتمند می‌شود». باز هم برای روشن‌تر شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

البته توجه داشته باشید که این روش را برای زمانی که اعداد دو رقمی بوده و رقم یکان به ۰ یا ۵ نزدیک باشد، به خوبی عمل می‌کند.

مثال 6

حاصل جمع دو عدد ۴۹ و ۸۶ را به کمک روش دزدی رقم، انجام می‌دهیم. از آنجایی که یکان ۸۶ یعنی رقم ۶ به مقدار ۵ نزدیک است و از طرفی در ۴۹، رقم یکان با اضافه شدن یک واحد به صفر تبدیل می‌شود از تکنیک دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 86 – 1 = 85 \ large 49 + 1 = 50 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 86 + 49 = 86 – 1 + 49 + 1 $$

زیرا اضافه و کم کردن یک مقدار ثابت از حاصل جمع، نتیجه را تغییر نمی‌دهد. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large 86+49 = 86 – 1 + 49 + 1= 85 + 50 = 135 $$

مثال ۷

حاصل جمع ۵۲ و ۶۸ را هم به شیوه دزدی رقم انجام می‌دهیم ولی اینجا به نظر می‌رسد که رقم دزدیده شده از ۵۲ باید ۲ باشد.

$$ large 52 – 2 = 50 \ large 68 + 2 = 70 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 68 + 52 = 68 + 2 + 52 – 2 = 70 + 50 = 120 $$

نکته: البته این جمع را با تکنیک شکست و تجزیه و استفاده از اعداد زیبا نیز می‌توان انجام داد.

$$ large 68 + 52 = 60 + 8 + 50 + 2 = 110 + 10 = 120 $$

در روش ترکیبی، از تکنیک‌های قبلی به صورت ترکیبی برای محاسبه جمع دو عدد استفاده می‌کنیم. به این ترتیب ممکن است در یک گام از روش دزدی رقم و در گام بعدی از روش شکست و تجزیه استفاده کنیم. باز هم در اینجا برای روشن شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

نکته: اغلب برای جمع اعداد چند رقمی از روش ترکیبی استفاده می‌کنیم.

مثال 8

حاصل جمع دو عدد 462 و 379 را با ترکیب کردن چندین روش ذهنی، بدست می‌آوریم.

ابتدا با تکنیک شکست و تجزیه، صدگان و دهگان‌ها را جدا می‌کنیم.

$$ large underbrace{400 + 62}_{462} + underbrace{300 + 79}_{379} $$

با استفاده از خاصیت شرکت‌پذیری و جابجایی جمع، ابتدا صدگان‌ها و سپس دهگان‌ها را جمع می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62 + 79 $$

در این مرحله برای جمع 62 و ۷۹ نیز از دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62-1 + 79 + 1 = \ large 700 + 61 + 80 $$

به سادگی می‌توانیم با جابجایی و شکست و تجزیه بنویسیم:

$$ large 700 + 61 + 80 = 780 + 61 = 780 + 60 + 1 $$

این بار از تکنیک عدد مبنا کمک گرفته و حاصل جمع 60 با 780 را بدست می‌آوریم. واضح است که حاصل جمع ۶۰ و ۷۸۰ از ۸۰۰ بزرگتر است، پس عدد مبنا را ۸۰۰ می‌گیریم.

$$ large underbrace{800}_{780 + 20} + underbrace{40}_{ 60 – 20 } + 1 = 841 $$

در این قسمت به روش‌هایی اشاره می‌کنیم که عمل تفریق را برایتان ساده‌تر کرده و امکان انجام محاسبات ذهنی را می‌دهد و با کمی تکرار و تمرین کردن این تکنیک‌ها، سرعت انجام محاسباتتان بیشتر خواهد شد. ابتدا به مانند روش جمع اعداد مقلوب دو رقمی، به شیوه تفریق آن‌ها می‌پردازیم.

اگر قرار باشد اعداد مقلوب دو رقمی را از هم کسر کنیم کافی است تفاصل رقم یکان و دهگان یکی از آن‌ها را در ۹ ضرب کنیم. به این ترتیب تفاضل آن دو عدد محاسبه می‌شود. باز هم به همان اعداد مقلوبی که در جمع به آن‌ها پرداختیم، توجه می‌کنیم. البته تفاضل را به شکلی محاسبه می‌کنیم که همیشه رقم کوچکتر را از رقم بزرگتر کم می‌کنیم تا نتیجه تفاضل، منفی نباشد.

$$ large 4 , 1 – overbrace{ 1 ; 4 }^{ 4 – 1 = 3 } = 3 times 9 = 27 $$

$$ large 5 , 3 – overbrace{ 3 ; 5 }^{ 5 – 3 = 2 } = 2 times 9 = 18 $$

$$ large 9 , 8 – overbrace{ 8 ; 9 }^{ 9 – 8 = 1 } = 1 times 9 = 9 $$

نکته: می‌توانیم قدرمطلق تفاضل هر دو رقم را هم مبنا قرار داده و در عدد ۹ ضرب کنیم.

اغلب روش‌هایی که برای جمع سریع و ذهنی گفته شد، برای تفریق نیز قابل استفاده است. بنابراین با ذکر چند مثال، این تکنیک‌ها را برای تفریق هم به کار می‌بریم.

مثال 9

تفاضل ۹ از ۱۵ چقدر است؟ در اینجا از تکنیک عدد مبنا استفاده می‌کنیم. در واقع قرار است حاصل رابطه زیر را پیدا کنیم.

$$ large 15-9 $$

واضح است که این تفاضل از ۱۰ کوچکتر است. در این روش، مقدار ۱۰ را مبنا قرار می‌دهیم زیرا نزدیک‌ترین عدد مضرب ۱۰ است که از تفاضل این دو عدد بزرگتر است و محاسبات را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + ?}^9) $$

واضح است که به جای علامت ? باید مقدار ۴ را انتخاب کرد. در نتیجه رابطه بالا را به صورت زیر می‌نویسیم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + 4}^{9}) = 15- 5 – 4 = 10 – 4 = 6 $$

مثال ۱۰

برای محاسبه 3-22 نیز به صورت زیر عمل می‌کنیم. می‌دانیم که این تفاضل از ۱۰ بزرگتر است، پس مبنا را 20 در نظر می‌گیریم زیرا نزدیکترین مقدار به نتیجه تفاضل است که مضربی از ۱۰ خواهد بود. در نتیجه خواهیم داشت:

$$ large 22- (overbrace{2 + ?}^3) $$

حال با توجه به اینکه مقدار ? برابر با 1 خواهد بود، می‌نویسیم:

$$ large 22 – (overbrace{2 + 1}^{3}) = 22 – 2 – 1 = 20 – 1 = 19 $$

یکی دیگر از شیوه‌های معمول برای محاسبه تفریق، شمارش به بالا است. این امر به این معنی است که برای تعیین حاصل تفریق، از عدد دوم تفریق شروع کرده و عمل شمارش را انجام می‌دهیم تا به عدد اول برسیم. تعداد شمارش‌های صورت گرفته، حاصل تفریق است.

مثال ۱۱

حاصل تفاضل ۹ از ۱۵ با تکنیک شمارش به بالا به صورت زیر انجام می‌شود.

$$ large 15 – 9 $$

از عدد ۹ شروع می‌کنیم و به آن یک واحد اضافه می‌کنیم و این عمل را آنقدر تکرار می‌کنیم تا به ۱۵ برسیم. تعداد تکرارهای طی شده یا گام‌ها، حاصل تفریق است.

$$large ;;; 9 + color{blue}{1} = 10, ;; 10 + color{blue}{1} = 11, ;; 11 + color{blue}{1} = 12 , \ large 12 + color{blue}{1} = 13, ;; 13 + color{blue}{1} = 14, ;; 14 + color{blue}{1} = 15 $$

مشخص است که باید تعداد ۱ ها را بشماریم تا نتیجه تفریق بدست آید. بنابراین مقدار تفریق برابر است با ۶.

$$ large 15 – 9 = 6 $$

مثال ۱۲

مقدار ۵۹-۱۲۷ را به کمک تکنیک شمارش به بالا انجام می‌دهیم. همانطور که گفته شد از ۵۹ شمارش را آغاز می‌کنیم تا به ۱۲۷ برسیم. در گام اول داریم:

$$ large 59 + color{blue}{1} = 60 $$

از آنجایی که برای رسیدن به ۱۲۰ کافی است ۶۰ بار عمل جمع با ۱ را تکرار کنیم، پس می‌نویسیم:

$$large 59 + color{blue}{1} = 60, ;; 60 + color{blue}{60} = 120, ;; 120 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 }}^7 = 127 $$

در نتیجه حاصل این تفریق برابر است با 7+1+60=68.

مثال ۱۳

حاصل 328-572 با طی کردن گام‌های زیر با روش شمارش به بالا، مشخص می‌شود. در گام اول با شمارش از ۳۲۸ شروع کرده تا به ۳۳۰ برسیم.

$$ large 328 + color{blue}{2} = 330 $$

حالا شمارش به بالا را تا ۴۰۰ ادامه می‌دهیم.

$$ large 330 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{70} = 400 $$

از طرفی برای رسیدن به ۵۰۰ نیز باید یک جهش ۱۰۰ تایی با گام‌هایی به طول ۱ داشته باشیم.

$$ large 400 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + cdots + 1}}^{100} = 500 $$

در انتها نیز برای رسیدن به 572 باید ۷۲ گام دیگر برداریم.

$$ large 500 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{72} = 572 $$

در نتیجه حاصل تفاضل برابر است با 72+100+70+2=244.

اگر محور اعداد را برای نمایش اعداد صحیح به کار ببریم، مشخص است که تفاضل دو عدد به معنی فاصله بین آن دو در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه با توجه به مثال بالا باید فاصله بین ۳۲۸ تا ۷۷۲ شمارش و محاسبه شود. با توجه به محور، مشخص است که این فاصله شامل زیر فاصله‌های دیگری است که به آسانی در تصویر‌های زیر قابل مشاهده هستند.

گام اول:

گام دوم:

گام سوم:

با جمع کردن این فاصله‌ها، مقدار تفاضل بدست خواهد آمد.

$$ large color{blue}{ 2 + 70 + 100 + 70 + 2 } = 140 + 100 + 4 = 244 $$

به منظور آشنایی بیشتر با موضوع مربوط به این نوشتار می‌توانید دوره آموزش ویدیویی فرادرس با عنوان آموزش محاسبات سریع ریاضی را مشاهده کنید که به مباحث کامل‌ و جامعی در مورد محاسبات مربوط به جمع و تفریق ذهنی و همینطور ضرب و تقسیم را در خود جای داده است. در این آموزش به بیان تکنیک‌هایی پرداخته شده است که با یادگیری آن‌ها می‌توانید سرعت انجام عملیات ریاضی را افزایش دهید و در حل مسائل و محاسبات ریاضی از دیگران سبقت بگیرید.

فراگیری تکنیک‌های گفته شده در این آموزش شما را از ماشین حساب بی‌نیاز کرده و حتی سریع‌تر از آن می‌توانید به پاسخ مورد نظر برسید. این امر بخصوص در امتحاناتی که امکان استفاده از ماشین حساب در آن‌ها وجود ندارد (مانند آزمون استخدامی)، یک مزیت محسوب می‌شود.

در فصل اول این آموزش در مورد محاسبات سریع ضرب و تکنیک‌های آن صحبت می‌شود. در فصل دوم نیز تقسیم ذهنی مورد بحث قرار می‌گیرد. فصل سوم نیز به جمع و تفریق ذهنی اعداد صحیح می‌پردازد. لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد بحث قرار گرفته است. فصل پنجم نیز محاسبات مربوط به توابع مثلثاتی را در خود جای داده است. در آخرین فصل یعنی فصل ششم نیز به محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد پرداخته شده است.

در این نوشتار به بررسی نحوه محاسبه جمع و تفریق ذهنی و شیوه‌های مختلف آن پرداختیم. البته روش‌های ترکیبی که به صورت ابتکاری به کار می‌روند، می‌توانند راهکار مناسبی برای انجام این گونه محاسبات باشند. جمع و تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز در این بین مورد بحث قرار گرفت. هر چند شاید جمع و تفریق ذهنی اعداد در نگاه اول به نظر مشکل برسد ولی با کمی تمرین و تلاش، قواعد را فرا می‌گیرید و می‌توانید با سرعت زیاد و بدون اشتباه، جمع و تفریق ذهنی را انجام دهید و در نظر دیگران به یک فرد بسیار باهوش تبدیل شوید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های ویدیویی و همینطور نوشتارهای دیگر مجله فرادرس زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 58 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

*فیلم آموزشی اضافه شد*

جذر (root):

جذر به معنی ریشه ، بن و پایه است. در ریاضیات جذر گرفتن عکس عمل به توان رساندن می باشد.

جذر

 

چگونه ذهنی جذر بگیریم

عددهایی مانند ۴۹ , ۱۶ , ۴ , … را که جذر دقیق دارند ، مجذور یا مربع کامل می نامند.

خرید اپل آیدی و گیفت کارت

توجه: در دوره راهنمایی فقط جذر حسابی ( جذر مثبت) عدد a را در نظر می گیریم و آنرا با علامت  نشان می دهیم.

محاسبه مقدار جذر:

ابتدا محاسبه مقدار تقریبی جذر اعداد در کلاس دوم را یاد آوری می کنیم:

اگر a , b دو عدد مثبت باشند، جذر عددی مانند N از رابطه زیر بدست می آید:

جذر

مثال: جذر عدد ۹۵ را تا یک رقم اعشار به دست آورید.      

جذر

برای محاسبه جذر یک عدد ، روش دقیقتری وجود دارد که به کمک این روش می توانیم جذر یک عدد را تا هر تقریبی که بخواهیم ، حساب کنیم . پس از مطالعه چگونگی جذر از کتاب درسی ، جهت فراگیری بهتر به مثال های زیر توجه کنید.

مثال ۱: جذر عدد ۱۲۳۸ را با تقریب نقصانی کمتر از یک بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

جذر

نکته: در محاسبه جذر تقریبی مقصود از تقریب نقصانی کمتر از یک این است که:

حاصل جذر بدون رقم اعشاری محاسبه و بیان شود.

در این صورت اختلاف جذر گرفته شده با جذر واقعی با دقت کمتر از یک واحد می باشد.

مثال ۲: جذر عدد ۱۲۳۸ را تا یک رقم اعشار بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

جذر

مثال ۳: جذر عدد ۲/۵۶ را تا دو رقم اعشاری بدست آورید و باقیمانده را مشخص کنید.

جذر

امتحان جذر:

اگر یک جذر را درست انجام داده باشیم:

الف– دو برابر جذر به اضافه یک از باقیمانده ی جذر بزرگتر است.

ب– مجذور جذر به اضافه باقیمانده ، مساوی عدد داده شده است.

نکته: اگر بخواهیم جذر یک عدد اعشاری را امتحان کنیم، در مورد قسمت الف قبل از درج ممیزها، امتحان جذر را انجام می دهیم.

۱٫

جذر

 

اگر زیر رادیکال جمع یا تفریق داشته باشیم ، نمی توانیم از تک تک جملات جذر بگیریم بلکه باید حاصل جمع یا تفریق را به دست آورده سپس جذر بگیریم.

۲٫ جذرگیری از راه تجزیه: می خواهیم جذر عددی را از راه تجزیه محاسبه کنیم، ابتدا عدد را به حاصل ضرب عوامل اول تجزیه می کنیم. سپس از حاصل ضرب آن عوامل جذر می گیریم.

اگر نمای عددی زوج باشد، کافی است پایه را نوشته و نمای آن را نصف کنیم.

مثال:

جذر

 

چگونه ذهنی جذر بگیریم

جذر

þ تست۱ : 

در یک عمل جذرگیری تقریبی از یک عدد، امتحان آن به صورت ۲۳<1+12×۲ شده است. آن عدد کدام گزینه    می تواند باشد؟

د)  ب و ج

ج) ۶۷/۱

ب) ۰۱۶۷/۰

الف) ۱۶۷/۰

حل :

گزینه “د” صحیح می باشد.

جذر

 þ تست۲ :  

جذر مثبت حاصل ضرب دو عدد   ۷۲ ×۵ ×۲۳ و ۱۱۲×۵۳×۲  برابر است با:

د) ۸۷۰۰

ج) ۸۵۰۰

ب) ۷۸۰۰

الف) ۷۷۰۰

حل :

گزینه الف صحیح می باشد.

جذر

þ تست۳ : 

حاصل  کدام است؟

د) ۱-

ج) ۱

ب) 

الف) 

حل :

گزینه ب صحیح است.

جذر

þ تست۴ : 

در کدام گزینه همواره  بزرگ تر از a می شود؟

د) ۱> a >ا◦

ج)  ◦ > a

ب) ◦ < a

الف)  ◦ = a

حل :

گزینه د صحیح است.

عدد a منفی نیست، زیرا اعداد منفی جذر حقیقی ندارد.

þ تست۵ : 

د) ۴

ج) ۵

ب) ۲۵

الف)  ۲

حل :

گزینه ج صحیح است.

جذر

þ تست۶ : 

در معادله توانی مقابل مقدار x کدام است

د) ۸

ج) ۷

ب) ۶

الف) ۵

حل :

 گزینه ج صحیح است:

جذر

با مشاهده فیلم آموزش جادویی جذرگیری سریع، مطلب ملموس تر خواهد شد:

سلام
همه ی عکسها حذف شده
رسیدگی کنید
تشکر
یاعلی ع

به روی چشم. در اسرع وقت جایگزین خواهد شد.

سلام
واقعا وبلاگتون عالیـــــــــــــــــــــــــه…خیلــــــــــــــــــــــــــــــــی خیلـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــی مر۳۰ 🙂 😀

ببخشید میشه لطفا جذر عدد ۷٫۴۸راتا دورقم اعشار بدست بیارید و به ایمیلم ارسال کنید؟!!ممنون

عالی بود.

Haji gol kashti damet garm faghat age mitonid mataleb haye riazi mesle hamin ro bishtar konin man azatoon mamnoon misham
bazam mamnoon az komaketoon 🙂 😉 🙂 😉 🙂

سلام
میشه بگید چجور میشه ln بدون استفاده از ماشین حساب بدست اوورد؟؟اگه جواب ب ایمیلم بفرستید ممنون میشم خیلی بهش نیاز دارم

به وسیله سری تیلور

سلام برادر عزیز. از شما ممنونم. من دارم کنکور ارشد امتحان میدم گرایش سخت افزار مهندسی کامپیوتر. مشکلی که در برخی مسایل داشتم این بود که برای محاسبه ولتاژ خروجی بعضی از مدارها لازم بود جذر عددی اعشاری مثل شش و نه دهم رو تا ۴ رقم اعشار محاسبه کنم. قراموشم شده بود و سرچ انگلیسی هم چیزی دستم نداد
ازتون واقعا متشکرم
خدا خیرتون بده
یا علی

درود؛
خوشحالم که تا این حد مفید بوده.

چطوری این فیلمه دانلود میشه؟

دوست عزیز؛
وارد این صفحه شده و از سمت راست ویدیو، گزینه دانلود رو انتخاب کنید.

ممنون من فردا امتحان دارم به دادم رسید

خواهش میکنم.
خوشحالم که استفاده کردید.

خیلی عالی وموثر بود ممنون.big liiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiik

خوب تعثیر زیادی روی من داشت من دانشاموز مدرسه نمونه دولتی البرزم

امیدوارم همیشه موفق باشی حسین جان.

وقتی تو دانش آموز نمونه مردمی باشی و تاثیر رو تعثیر بنویسی، وای به حال بقیه!

خیلی عالی بود ممنون استفاده کردیم و مشکلم حل شد مر۳۰

همچنین منم مشکل زیادی تو سوالای کنکور داشتم حل شدن ممنون

شهرام جان؛
امیدوارم با سعی و تلاشی که داری نتیجه مطلوب از کنکور بگیری.

حدیث جان؛
خواهش میکنم. خوشحالم که مورد استفاده بود.

سلام ببخشید ی سوال داشتم میشه همین الان جوابمو بدین
سوالم اینه:چه اعدادی جذر بزرگتر از مجذور دارند

سلام وبلاگتون خیلی مفید و عالی بود . تشکر

متشکرم دوست عزیز. 🙂

سلام خسته نباشید اگر ممکنه نحوه گرفتن جذر اعداد سه رقمی واعداداعشاری سه رقمی را به ما یاد بدین ممنونم

سلام داداش.ممنون میشم جواب جذر ۱۲۹۶۰۰ بدهید????????????

سلام
وقت بخیر
من سه هفته دیگه کنکور ارشد دارم و تو بعضی مسائل نیاز هست رادیکال با فرجه بیشتر از دو حل کنم ،حتی با فرجه ده یا بیشتر
ممنون میش راه حلی بدون ماشین حساب بهم بدید
فقط لطفا به ایمیلم ارسال کنید که زودتر ببینمش
یه دنیا ممنون

سلام میشه بگید رادیکال۲ را با دو رقم اعشاری چطور حل کنیم بدون استفاده با ماشین حساب

اقا با این رروش هایی که گفتید عدد ۱۳۰۵۹ قابل جذر گیی نیس خواهشا جواب بدید و برام ایمیل کنید

واقا عالی بود دمتون گرم . ب دادم رسیدین یا علی

سلام
جذراعداداعشاری وچجوری میشه پیداکرد

دیدگاه‌ها غیرفعال هستند.

0