چگونه ذهنی حساب کنیم

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

امروزه برای محاسبه جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد از ماشین حساب استفاده می‌کنیم. در اغلب تلفن‌های همراه نیز برنامه ماشین حساب وجود دارد که می‌توانیم از آن‌ها برای انجام محاسبه مجموع خرید روزانه، باقی پول خرید و غیره استفاده کنیم. ولی اگر تلفن همراه‌تان در دسترس‌تان نباشد چه کاری باید کرد؟ تنها راه باقی‌مانده، استفاده از محاسبات بخصوص جمع و تفریق ذهنی است. ولی شاید این کار وقت‌گیر بوده و احتیاج به کاغذ و خودکار داشته باشد؛ نگران نباشید. روش‌هایی وجود دارند که محاسبات جمع و تفریق ذهنی را برایتان، راحت و ساده می‌کنند. در این نوشتار به جمع و تفریق ذهنی و سریع اعداد صحیح می‌پردازیم و از رمزهای آن آگاه خواهیم شد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

در مطلبی که در ادامه آمده است با استفاده از مجموعه اعداد صحیح، محاسبات را انجام می‌دهیم. برای آشنایی بیشتر با این اعداد می‌توانید مطالب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن متن جمع در اکسل — به زبان ساده و تفریق در اکسل — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

شاید به نظرتان افرادی که جمع و تفریق ذهنی را انجام می‌دهند، نابغه باشند. ولی آن‌ها به کمک روش‌هایی ساده، این عملیات را به سرعت انجام می‌دهند.

همانطور که در عنوان این مطلب دیده می‌شود، هدف در جمع و تفریق ذهنی پیدا کردن روش‌هایی است که به کمک آن‌ها بتوانیم به راحتی و البته با سرعت، نتایج جمع و تفریق ذهنی دو عدد را پیدا کنیم. با توجه به روابطی که بین دو عدد وجود دارد، روش‌های مختلفی برای جمع‌ و تفریق ذهنی آن‌ها ایجاد شده است. البته همیشه عمل جمع یا تفریق به صورت عادی، نتیجه بخش خواهد بود ولی در اینجا به دنبال سرعت بخشیدن به عمل جمع و تفریق ذهنی هستیم.چگونه ذهنی حساب کنیم

نکته: به این موضوع توجه داشته باشید که عملیاتی که در ادامه مرتبط با جمع و تفریق ذهنی بوده و مورد بحث قرار می‌گیرد از خاصیت‌های جابجایی، شرکت‌پذیری و پخشی عملگرهای ریاضی استفاده می‌کنند تا انجام محاسبات را به شکلی درآوردند که برای ذهن ما ساده‌تر باشد.

برای شروع کار به جمع‌کردن ذهنی اعداد می‌پردازیم. ابتدا برای جمع ساده برای اعداد یک رقمی و سپس نوع خاصی از اعداد دو رقمی روش‌هایی را معرفی کرده، سپس برای جمع اعداد مختلف، راه‌کارهایی را ارائه می‌کنیم.

زوج اعداد زیر را در نظر بگیرید:

۱ و 9

2 و ۸

۳ و ۷

۴ و ۶

۵ و ۵

همانطور که می‌بینید مجموع هر یک از این زوج‌ها برابر با مقدار ۱۰ است. هر چند این موضوع را همه می‌دانند ولی استفاده از آن برای انجام عملیات جمع و تفریق بسیار کارساز است. اجازه دهید این زوج اعداد را به عنوان اعداد زیبا نام‌گذاری کنیم. به این ترتیب هر گاه هنگام جمع کردن به این زوج‌ها برخوردید، می‌دانید که مجموعشان برابر با ۱۰ است.

یکی از نکات جالبی که در جمع‌کردن اعداد دو رقمی خاص به کار می‌رود، جمع اعداد مقلوب است. البته برای تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز قاعده‌ای وجود دارد که در ادامه با آن‌ها آشنا خواهیم شد. ابتدا تعریف دو عدد مقلوب را ارائه می‌دهیم.

دو عدد را مقلوب یکدیگر می‌گویند، اگر یکی از آن‌ها با تغییر ترتیب ارقام دیگری ساخته شده باشد. برای مثال عدد ۱۴ , 41 مقلوب یکدیگر هستند، زیرا ترتیب قرارگیری ۴ و ۱ در چهارده و چهل و یک، عکس یکدیگر است. اعداد ۵۳ و ۳۵، ۹۸ و ۸۹ نیز از این گونه هستند.

واضح است که نتیجه جمع یکان این گونه اعداد با مجموع ده‌گان آن‌ها برابر است. به این ترتیب کافی است که مجموع ارقام یکان این دو عدد را با یکدیگر جمع کرده و در عدد ۱۱ ضرب کنیم تا حاصل جمع آن دو عدد حاصل شود.

برای مثال جمع ۱۴ و ۴۱ یا ۵۳ و ۳۵ و همچنین ۹۸ و ۸۹ به شکل زیر بدست می‌آید.

$$ large 1 , 4 + overbrace{ 4 ; 1 }^{ 4 + 1 = 5 } = 5 times 11 = 55 $$

$$ large 5 , 3 + overbrace{ 3 ; 5 }^{ 3 + 5 = 8 } = 8 times 11 = 88 $$

$$ large 9 , 8 + overbrace{ 8 ; 9 }^{ 8 + 9 = 17 } = 17 times 11 = 187 $$

در ادامه روش‌های عدد مبنا، شکست و تجزیه، دزدی رقم و روش ترکیبی را فرا گرفته و برای جمع کردن به کار می‌گیریم.

با توجه به اهمیت یادگیری انجام اعمال جبری بدون نیاز به ماشین حساب، «فرادرس» اقدام به انتشار فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی در قالب یک آموزش ۲ ساعت و ۲۰ دقیقه‌ای کرده که در ادامه متن به آن اشاره شده است.

در تکنیک عدد مبنا، یک مقدار عددی که محاسبات براساس آن ساده‌تر است را به عنوان معیار قرار داده و سعی می‌کنیم یک یا هر دو عدد مربوط به جمع را برحسب آن بنویسیم. معمولا عدد مبنا می‌تواند ۱۰ یا ۵ باشد. انتخاب این عدد براساس دانشی است که برای جمع کردن اعداد داریم. برای مثال ممکن است فردی جمع اعداد را با ۸ به خوبی انجام دهد. بنابراین بهتر است عدد مبنا را ۸ انتخاب کند.

نکته: این روش برای زمانی که یکی از عددهای جمع، تک رقمی است، با سرعت عمل می‌کند.

در ادامه با استفاده از مثال‌هایی با تکنیک عدد مبنا آشنا خواهیم شد. توجه داشته باشید که عدد مبنا را مقداری انتخاب کنید که با استفاده از تجزیه یکی از اعداد و جمع با عدد دیگر به آن می‌رسید.

مثال ۱

فرض کنید قرار است دو عدد ۱۵ و ۸ را با یکدیگر جمع کنیم.

$$ large 15 + 8 $$

واضح است که این جمع از ۲۰ بزرگتر است. بنابراین ۲۰ را مبنا قرار می‌دهیم. مقدار ۸ را به ۵ و ۳ تفکیک می‌کنیم، زیرا ۱۵ برای آنکه به ۲۰ تبدیل شود، احتیاج به ۵ واحد دارد. پس خواهیم داشت:

$$ large 15 + underbrace{ 5 + 3 }_8 $$

به این ترتیب مجموع ۱۵ و ۵ که برابر با ۲۰ است را در ذهن قرار می‌دهیم.

$$ large underbrace{20}_{ 15 + 5 } + 3 $$

به این ترتیب جمع را به صورت زیر تکمیل می‌کنیم.

$$ large 20 +  3 = 23 $$

مثال ۲

حاصل مجموع ۶۳ و ۹ را با تکنیک عدد مبنا به صورت زیر در ذهن حل می‌کنیم. از آنجایی که مجموع این دو عدد از ۷۰ بزرگتر است، عدد مبنا را ۷۰ (که مضربی از ۱۰ است) انتخاب می‌کنیم.

$$ large 63 + 9 $$

چگونه ذهنی حساب کنیم

حال مراحل زیر را طی می‌کنیم. مشخص است که برای رسیدن به ۷۰ باید ۷ واحد به ۶۳ اضافه شده و ۷ واحد از ۹ نیز کاسته شود.

$$ large 63 + underbrace{ 7 + 2 }_9 $$

در این مرحله، عدد مبنا را بدست می‌آوریم.

$$ large underbrace{70}_{ 63 + 7 } + 2 $$

در نهایت، نتیجه را با ۲ جمع می‌کنیم.

$$ large 70 + 2 = 72 $$

مثال ۳

۱۱۷ و ۶ را با تکنیک عدد مبنا با یکدیگر جمع بسته و مراحل را نشان می‌دهیم.

$$ large 117 + 6 $$

از آنجایی که این جمع از ۱۲۰ بزرگتر است، مبنا را ۱۲۰ انتخاب می‌کنیم. از طرفی وجود صفر در رقم یکان آن، جمع با اعداد بعدی را برای عدد مبنا ساده‌تر می‌کند.

پس خواهیم داشت:

$$ large 117 + underbrace{ 3 + 3 }_6 $$

حال محاسبات را ادامه می‌دهیم.

$$ large 117 + 3 + 3 = 120 + 3 = 123 $$

در این روش با شکستن یک عدد و تجزیه آن به عوامل دیگر، عمل جمع را ساده‌تر کرده و محاسبات را به صورت ذهنی انجام می‌دهیم. به این ترتیب اعداد را برمبنای رقم‌های یکان، دهگان و … جمع می‌کنیم.

برای آشنایی با این تکنیک نیز از چند مثال استفاده می‌کنیم.

مثال 4

حاصل جمع ۱۲ و ۸۸ را به کمک روش شکست و تجزیه بدست می‌آوریم. ۱۲ و ۸۸ را بر حسب یکان و دهگانشان جداگانه می‌نویسم. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large underbrace{ 10 + 2 }_{12} + underbrace{ 80 + 8 }_{88} $$

حال، یکان‌ها را جداگانه و دهگان‌ها را هم جداگانه جمع می‌کنیم، زیرا می‌دانیم که جمع دارای خاصیت شرکت‌پذیری است. واضح است که در اینجا از جمع اعداد زیبا که در بالا به آن اشاره کردیم، استفاده خواهیم کرد. پس داریم:

$$ large underbrace{10 + 80}_{90} + underbrace{ 2 + 8 }_{10} $$

از آنجایی که ۸+۲ شامل یک ده بر یک خواهد بود، باید به دهگان یک واحد اضافه کنیم. پس حاصل جمع برابر است با ۱۰۰.

$$ large 80 + 10 + 10 = 100 $$

نکته: می‌توانستیم برای جمع این دو عدد از شکست و تجزیه به صورت دیگری هم استفاده کنیم. راه حل دیگر در ادامه آورده شده است.

$$ large 12 + 88 = 10 + 2 + 88 = 10 + 90 = 100$$

حتی این کار را با تجزیه ۸۸ نیز می‌توان انجام داد:

$$ large 12 + 88 = 12 + 8 + 80 = 20 + 80 = 100 $$

بنابراین ممکن است به هر شکلی که برایتان راحت‌تر است، شکست و تجزیه را انجام دهید ولی همیشه نتیجه جمع یکسان خواهد بود.

مثال ۵

حاصل جمع 36 و ۷۲ را با روش شکست و تجزیه انجام می‌دهیم. ابتدا اعداد را به تفکیک یکان و دهگان می‌نویسیم.

$$ large underbrace{30 + 6}_{36} + underbrace{ 70 + 2 }_{72} $$

به کمک خاصیت شرکت‌پذیری عمل جمع می‌نویسیم، مشخص است که بخش اول شامل جمع دهگان‌ها و بخش دوم جمع یکان‌ها را محاسبه کرده است.

$$ large underbrace{ 30 + 70 } + underbrace{ 6 + 2 } $$

به این ترتیب حاصل جمع برابر با ۱۰۸ خواهد بود.

$$ large underbrace{100}_{ 30 + 70 } + underbrace{8}_{6 + 2}= 100 + 8 = 108 $$

در این تکنیک، برای جمع دو عدد، یک واحد از یکی از اعداد دزدیده شده و به عدد دیگر داده می‌شود. به این ترتیب به اصطلاح می‌گویند «یکی از اعداد گدا و دیگری ثروتمند می‌شود». باز هم برای روشن‌تر شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

البته توجه داشته باشید که این روش را برای زمانی که اعداد دو رقمی بوده و رقم یکان به ۰ یا ۵ نزدیک باشد، به خوبی عمل می‌کند.

مثال 6

حاصل جمع دو عدد ۴۹ و ۸۶ را به کمک روش دزدی رقم، انجام می‌دهیم. از آنجایی که یکان ۸۶ یعنی رقم ۶ به مقدار ۵ نزدیک است و از طرفی در ۴۹، رقم یکان با اضافه شدن یک واحد به صفر تبدیل می‌شود از تکنیک دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 86 – 1 = 85 \ large 49 + 1 = 50 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 86 + 49 = 86 – 1 + 49 + 1 $$

زیرا اضافه و کم کردن یک مقدار ثابت از حاصل جمع، نتیجه را تغییر نمی‌دهد. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large 86+49 = 86 – 1 + 49 + 1= 85 + 50 = 135 $$

مثال ۷

حاصل جمع ۵۲ و ۶۸ را هم به شیوه دزدی رقم انجام می‌دهیم ولی اینجا به نظر می‌رسد که رقم دزدیده شده از ۵۲ باید ۲ باشد.

$$ large 52 – 2 = 50 \ large 68 + 2 = 70 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 68 + 52 = 68 + 2 + 52 – 2 = 70 + 50 = 120 $$

نکته: البته این جمع را با تکنیک شکست و تجزیه و استفاده از اعداد زیبا نیز می‌توان انجام داد.

$$ large 68 + 52 = 60 + 8 + 50 + 2 = 110 + 10 = 120 $$

در روش ترکیبی، از تکنیک‌های قبلی به صورت ترکیبی برای محاسبه جمع دو عدد استفاده می‌کنیم. به این ترتیب ممکن است در یک گام از روش دزدی رقم و در گام بعدی از روش شکست و تجزیه استفاده کنیم. باز هم در اینجا برای روشن شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

نکته: اغلب برای جمع اعداد چند رقمی از روش ترکیبی استفاده می‌کنیم.

مثال 8

حاصل جمع دو عدد 462 و 379 را با ترکیب کردن چندین روش ذهنی، بدست می‌آوریم.

ابتدا با تکنیک شکست و تجزیه، صدگان و دهگان‌ها را جدا می‌کنیم.

$$ large underbrace{400 + 62}_{462} + underbrace{300 + 79}_{379} $$

با استفاده از خاصیت شرکت‌پذیری و جابجایی جمع، ابتدا صدگان‌ها و سپس دهگان‌ها را جمع می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62 + 79 $$

در این مرحله برای جمع 62 و ۷۹ نیز از دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62-1 + 79 + 1 = \ large 700 + 61 + 80 $$

به سادگی می‌توانیم با جابجایی و شکست و تجزیه بنویسیم:

$$ large 700 + 61 + 80 = 780 + 61 = 780 + 60 + 1 $$

این بار از تکنیک عدد مبنا کمک گرفته و حاصل جمع 60 با 780 را بدست می‌آوریم. واضح است که حاصل جمع ۶۰ و ۷۸۰ از ۸۰۰ بزرگتر است، پس عدد مبنا را ۸۰۰ می‌گیریم.

$$ large underbrace{800}_{780 + 20} + underbrace{40}_{ 60 – 20 } + 1 = 841 $$

در این قسمت به روش‌هایی اشاره می‌کنیم که عمل تفریق را برایتان ساده‌تر کرده و امکان انجام محاسبات ذهنی را می‌دهد و با کمی تکرار و تمرین کردن این تکنیک‌ها، سرعت انجام محاسباتتان بیشتر خواهد شد. ابتدا به مانند روش جمع اعداد مقلوب دو رقمی، به شیوه تفریق آن‌ها می‌پردازیم.

اگر قرار باشد اعداد مقلوب دو رقمی را از هم کسر کنیم کافی است تفاصل رقم یکان و دهگان یکی از آن‌ها را در ۹ ضرب کنیم. به این ترتیب تفاضل آن دو عدد محاسبه می‌شود. باز هم به همان اعداد مقلوبی که در جمع به آن‌ها پرداختیم، توجه می‌کنیم. البته تفاضل را به شکلی محاسبه می‌کنیم که همیشه رقم کوچکتر را از رقم بزرگتر کم می‌کنیم تا نتیجه تفاضل، منفی نباشد.

$$ large 4 , 1 – overbrace{ 1 ; 4 }^{ 4 – 1 = 3 } = 3 times 9 = 27 $$

$$ large 5 , 3 – overbrace{ 3 ; 5 }^{ 5 – 3 = 2 } = 2 times 9 = 18 $$

$$ large 9 , 8 – overbrace{ 8 ; 9 }^{ 9 – 8 = 1 } = 1 times 9 = 9 $$

نکته: می‌توانیم قدرمطلق تفاضل هر دو رقم را هم مبنا قرار داده و در عدد ۹ ضرب کنیم.

اغلب روش‌هایی که برای جمع سریع و ذهنی گفته شد، برای تفریق نیز قابل استفاده است. بنابراین با ذکر چند مثال، این تکنیک‌ها را برای تفریق هم به کار می‌بریم.

مثال 9

تفاضل ۹ از ۱۵ چقدر است؟ در اینجا از تکنیک عدد مبنا استفاده می‌کنیم. در واقع قرار است حاصل رابطه زیر را پیدا کنیم.

$$ large 15-9 $$

واضح است که این تفاضل از ۱۰ کوچکتر است. در این روش، مقدار ۱۰ را مبنا قرار می‌دهیم زیرا نزدیک‌ترین عدد مضرب ۱۰ است که از تفاضل این دو عدد بزرگتر است و محاسبات را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + ?}^9) $$

واضح است که به جای علامت ? باید مقدار ۴ را انتخاب کرد. در نتیجه رابطه بالا را به صورت زیر می‌نویسیم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + 4}^{9}) = 15- 5 – 4 = 10 – 4 = 6 $$

مثال ۱۰

برای محاسبه 3-22 نیز به صورت زیر عمل می‌کنیم. می‌دانیم که این تفاضل از ۱۰ بزرگتر است، پس مبنا را 20 در نظر می‌گیریم زیرا نزدیکترین مقدار به نتیجه تفاضل است که مضربی از ۱۰ خواهد بود. در نتیجه خواهیم داشت:

$$ large 22- (overbrace{2 + ?}^3) $$

حال با توجه به اینکه مقدار ? برابر با 1 خواهد بود، می‌نویسیم:

$$ large 22 – (overbrace{2 + 1}^{3}) = 22 – 2 – 1 = 20 – 1 = 19 $$

یکی دیگر از شیوه‌های معمول برای محاسبه تفریق، شمارش به بالا است. این امر به این معنی است که برای تعیین حاصل تفریق، از عدد دوم تفریق شروع کرده و عمل شمارش را انجام می‌دهیم تا به عدد اول برسیم. تعداد شمارش‌های صورت گرفته، حاصل تفریق است.

مثال ۱۱

حاصل تفاضل ۹ از ۱۵ با تکنیک شمارش به بالا به صورت زیر انجام می‌شود.

$$ large 15 – 9 $$

از عدد ۹ شروع می‌کنیم و به آن یک واحد اضافه می‌کنیم و این عمل را آنقدر تکرار می‌کنیم تا به ۱۵ برسیم. تعداد تکرارهای طی شده یا گام‌ها، حاصل تفریق است.

$$large ;;; 9 + color{blue}{1} = 10, ;; 10 + color{blue}{1} = 11, ;; 11 + color{blue}{1} = 12 , \ large 12 + color{blue}{1} = 13, ;; 13 + color{blue}{1} = 14, ;; 14 + color{blue}{1} = 15 $$

مشخص است که باید تعداد ۱ ها را بشماریم تا نتیجه تفریق بدست آید. بنابراین مقدار تفریق برابر است با ۶.

$$ large 15 – 9 = 6 $$

مثال ۱۲

مقدار ۵۹-۱۲۷ را به کمک تکنیک شمارش به بالا انجام می‌دهیم. همانطور که گفته شد از ۵۹ شمارش را آغاز می‌کنیم تا به ۱۲۷ برسیم. در گام اول داریم:

$$ large 59 + color{blue}{1} = 60 $$

از آنجایی که برای رسیدن به ۱۲۰ کافی است ۶۰ بار عمل جمع با ۱ را تکرار کنیم، پس می‌نویسیم:

$$large 59 + color{blue}{1} = 60, ;; 60 + color{blue}{60} = 120, ;; 120 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 }}^7 = 127 $$

در نتیجه حاصل این تفریق برابر است با 7+1+60=68.

مثال ۱۳

حاصل 328-572 با طی کردن گام‌های زیر با روش شمارش به بالا، مشخص می‌شود. در گام اول با شمارش از ۳۲۸ شروع کرده تا به ۳۳۰ برسیم.

$$ large 328 + color{blue}{2} = 330 $$

حالا شمارش به بالا را تا ۴۰۰ ادامه می‌دهیم.

$$ large 330 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{70} = 400 $$

از طرفی برای رسیدن به ۵۰۰ نیز باید یک جهش ۱۰۰ تایی با گام‌هایی به طول ۱ داشته باشیم.

$$ large 400 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + cdots + 1}}^{100} = 500 $$

در انتها نیز برای رسیدن به 572 باید ۷۲ گام دیگر برداریم.

$$ large 500 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{72} = 572 $$

در نتیجه حاصل تفاضل برابر است با 72+100+70+2=244.

اگر محور اعداد را برای نمایش اعداد صحیح به کار ببریم، مشخص است که تفاضل دو عدد به معنی فاصله بین آن دو در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه با توجه به مثال بالا باید فاصله بین ۳۲۸ تا ۷۷۲ شمارش و محاسبه شود. با توجه به محور، مشخص است که این فاصله شامل زیر فاصله‌های دیگری است که به آسانی در تصویر‌های زیر قابل مشاهده هستند.

گام اول:

گام دوم:

گام سوم:

با جمع کردن این فاصله‌ها، مقدار تفاضل بدست خواهد آمد.

$$ large color{blue}{ 2 + 70 + 100 + 70 + 2 } = 140 + 100 + 4 = 244 $$

به منظور آشنایی بیشتر با موضوع مربوط به این نوشتار می‌توانید دوره آموزش ویدیویی فرادرس با عنوان آموزش محاسبات سریع ریاضی را مشاهده کنید که به مباحث کامل‌ و جامعی در مورد محاسبات مربوط به جمع و تفریق ذهنی و همینطور ضرب و تقسیم را در خود جای داده است. در این آموزش به بیان تکنیک‌هایی پرداخته شده است که با یادگیری آن‌ها می‌توانید سرعت انجام عملیات ریاضی را افزایش دهید و در حل مسائل و محاسبات ریاضی از دیگران سبقت بگیرید.

فراگیری تکنیک‌های گفته شده در این آموزش شما را از ماشین حساب بی‌نیاز کرده و حتی سریع‌تر از آن می‌توانید به پاسخ مورد نظر برسید. این امر بخصوص در امتحاناتی که امکان استفاده از ماشین حساب در آن‌ها وجود ندارد (مانند آزمون استخدامی)، یک مزیت محسوب می‌شود.

در فصل اول این آموزش در مورد محاسبات سریع ضرب و تکنیک‌های آن صحبت می‌شود. در فصل دوم نیز تقسیم ذهنی مورد بحث قرار می‌گیرد. فصل سوم نیز به جمع و تفریق ذهنی اعداد صحیح می‌پردازد. لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد بحث قرار گرفته است. فصل پنجم نیز محاسبات مربوط به توابع مثلثاتی را در خود جای داده است. در آخرین فصل یعنی فصل ششم نیز به محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد پرداخته شده است.

در این نوشتار به بررسی نحوه محاسبه جمع و تفریق ذهنی و شیوه‌های مختلف آن پرداختیم. البته روش‌های ترکیبی که به صورت ابتکاری به کار می‌روند، می‌توانند راهکار مناسبی برای انجام این گونه محاسبات باشند. جمع و تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز در این بین مورد بحث قرار گرفت. هر چند شاید جمع و تفریق ذهنی اعداد در نگاه اول به نظر مشکل برسد ولی با کمی تمرین و تلاش، قواعد را فرا می‌گیرید و می‌توانید با سرعت زیاد و بدون اشتباه، جمع و تفریق ذهنی را انجام دهید و در نظر دیگران به یک فرد بسیار باهوش تبدیل شوید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های ویدیویی و همینطور نوشتارهای دیگر مجله فرادرس زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 58 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

امروزه برای محاسبه جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد از ماشین حساب استفاده می‌کنیم. در اغلب تلفن‌های همراه نیز برنامه ماشین حساب وجود دارد که می‌توانیم از آن‌ها برای انجام محاسبه مجموع خرید روزانه، باقی پول خرید و غیره استفاده کنیم. ولی اگر تلفن همراه‌تان در دسترس‌تان نباشد چه کاری باید کرد؟ تنها راه باقی‌مانده، استفاده از محاسبات بخصوص جمع و تفریق ذهنی است. ولی شاید این کار وقت‌گیر بوده و احتیاج به کاغذ و خودکار داشته باشد؛ نگران نباشید. روش‌هایی وجود دارند که محاسبات جمع و تفریق ذهنی را برایتان، راحت و ساده می‌کنند. در این نوشتار به جمع و تفریق ذهنی و سریع اعداد صحیح می‌پردازیم و از رمزهای آن آگاه خواهیم شد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

در مطلبی که در ادامه آمده است با استفاده از مجموعه اعداد صحیح، محاسبات را انجام می‌دهیم. برای آشنایی بیشتر با این اعداد می‌توانید مطالب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن متن جمع در اکسل — به زبان ساده و تفریق در اکسل — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

شاید به نظرتان افرادی که جمع و تفریق ذهنی را انجام می‌دهند، نابغه باشند. ولی آن‌ها به کمک روش‌هایی ساده، این عملیات را به سرعت انجام می‌دهند.

همانطور که در عنوان این مطلب دیده می‌شود، هدف در جمع و تفریق ذهنی پیدا کردن روش‌هایی است که به کمک آن‌ها بتوانیم به راحتی و البته با سرعت، نتایج جمع و تفریق ذهنی دو عدد را پیدا کنیم. با توجه به روابطی که بین دو عدد وجود دارد، روش‌های مختلفی برای جمع‌ و تفریق ذهنی آن‌ها ایجاد شده است. البته همیشه عمل جمع یا تفریق به صورت عادی، نتیجه بخش خواهد بود ولی در اینجا به دنبال سرعت بخشیدن به عمل جمع و تفریق ذهنی هستیم.چگونه ذهنی حساب کنیم

نکته: به این موضوع توجه داشته باشید که عملیاتی که در ادامه مرتبط با جمع و تفریق ذهنی بوده و مورد بحث قرار می‌گیرد از خاصیت‌های جابجایی، شرکت‌پذیری و پخشی عملگرهای ریاضی استفاده می‌کنند تا انجام محاسبات را به شکلی درآوردند که برای ذهن ما ساده‌تر باشد.

برای شروع کار به جمع‌کردن ذهنی اعداد می‌پردازیم. ابتدا برای جمع ساده برای اعداد یک رقمی و سپس نوع خاصی از اعداد دو رقمی روش‌هایی را معرفی کرده، سپس برای جمع اعداد مختلف، راه‌کارهایی را ارائه می‌کنیم.

زوج اعداد زیر را در نظر بگیرید:

۱ و 9

2 و ۸

۳ و ۷

۴ و ۶

۵ و ۵

همانطور که می‌بینید مجموع هر یک از این زوج‌ها برابر با مقدار ۱۰ است. هر چند این موضوع را همه می‌دانند ولی استفاده از آن برای انجام عملیات جمع و تفریق بسیار کارساز است. اجازه دهید این زوج اعداد را به عنوان اعداد زیبا نام‌گذاری کنیم. به این ترتیب هر گاه هنگام جمع کردن به این زوج‌ها برخوردید، می‌دانید که مجموعشان برابر با ۱۰ است.

یکی از نکات جالبی که در جمع‌کردن اعداد دو رقمی خاص به کار می‌رود، جمع اعداد مقلوب است. البته برای تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز قاعده‌ای وجود دارد که در ادامه با آن‌ها آشنا خواهیم شد. ابتدا تعریف دو عدد مقلوب را ارائه می‌دهیم.

دو عدد را مقلوب یکدیگر می‌گویند، اگر یکی از آن‌ها با تغییر ترتیب ارقام دیگری ساخته شده باشد. برای مثال عدد ۱۴ , 41 مقلوب یکدیگر هستند، زیرا ترتیب قرارگیری ۴ و ۱ در چهارده و چهل و یک، عکس یکدیگر است. اعداد ۵۳ و ۳۵، ۹۸ و ۸۹ نیز از این گونه هستند.

واضح است که نتیجه جمع یکان این گونه اعداد با مجموع ده‌گان آن‌ها برابر است. به این ترتیب کافی است که مجموع ارقام یکان این دو عدد را با یکدیگر جمع کرده و در عدد ۱۱ ضرب کنیم تا حاصل جمع آن دو عدد حاصل شود.

برای مثال جمع ۱۴ و ۴۱ یا ۵۳ و ۳۵ و همچنین ۹۸ و ۸۹ به شکل زیر بدست می‌آید.

$$ large 1 , 4 + overbrace{ 4 ; 1 }^{ 4 + 1 = 5 } = 5 times 11 = 55 $$

$$ large 5 , 3 + overbrace{ 3 ; 5 }^{ 3 + 5 = 8 } = 8 times 11 = 88 $$

$$ large 9 , 8 + overbrace{ 8 ; 9 }^{ 8 + 9 = 17 } = 17 times 11 = 187 $$

در ادامه روش‌های عدد مبنا، شکست و تجزیه، دزدی رقم و روش ترکیبی را فرا گرفته و برای جمع کردن به کار می‌گیریم.

با توجه به اهمیت یادگیری انجام اعمال جبری بدون نیاز به ماشین حساب، «فرادرس» اقدام به انتشار فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی در قالب یک آموزش ۲ ساعت و ۲۰ دقیقه‌ای کرده که در ادامه متن به آن اشاره شده است.

در تکنیک عدد مبنا، یک مقدار عددی که محاسبات براساس آن ساده‌تر است را به عنوان معیار قرار داده و سعی می‌کنیم یک یا هر دو عدد مربوط به جمع را برحسب آن بنویسیم. معمولا عدد مبنا می‌تواند ۱۰ یا ۵ باشد. انتخاب این عدد براساس دانشی است که برای جمع کردن اعداد داریم. برای مثال ممکن است فردی جمع اعداد را با ۸ به خوبی انجام دهد. بنابراین بهتر است عدد مبنا را ۸ انتخاب کند.

نکته: این روش برای زمانی که یکی از عددهای جمع، تک رقمی است، با سرعت عمل می‌کند.

در ادامه با استفاده از مثال‌هایی با تکنیک عدد مبنا آشنا خواهیم شد. توجه داشته باشید که عدد مبنا را مقداری انتخاب کنید که با استفاده از تجزیه یکی از اعداد و جمع با عدد دیگر به آن می‌رسید.

مثال ۱

فرض کنید قرار است دو عدد ۱۵ و ۸ را با یکدیگر جمع کنیم.

$$ large 15 + 8 $$

واضح است که این جمع از ۲۰ بزرگتر است. بنابراین ۲۰ را مبنا قرار می‌دهیم. مقدار ۸ را به ۵ و ۳ تفکیک می‌کنیم، زیرا ۱۵ برای آنکه به ۲۰ تبدیل شود، احتیاج به ۵ واحد دارد. پس خواهیم داشت:

$$ large 15 + underbrace{ 5 + 3 }_8 $$

به این ترتیب مجموع ۱۵ و ۵ که برابر با ۲۰ است را در ذهن قرار می‌دهیم.

$$ large underbrace{20}_{ 15 + 5 } + 3 $$

به این ترتیب جمع را به صورت زیر تکمیل می‌کنیم.

$$ large 20 +  3 = 23 $$

مثال ۲

حاصل مجموع ۶۳ و ۹ را با تکنیک عدد مبنا به صورت زیر در ذهن حل می‌کنیم. از آنجایی که مجموع این دو عدد از ۷۰ بزرگتر است، عدد مبنا را ۷۰ (که مضربی از ۱۰ است) انتخاب می‌کنیم.

$$ large 63 + 9 $$

چگونه ذهنی حساب کنیم

حال مراحل زیر را طی می‌کنیم. مشخص است که برای رسیدن به ۷۰ باید ۷ واحد به ۶۳ اضافه شده و ۷ واحد از ۹ نیز کاسته شود.

$$ large 63 + underbrace{ 7 + 2 }_9 $$

در این مرحله، عدد مبنا را بدست می‌آوریم.

$$ large underbrace{70}_{ 63 + 7 } + 2 $$

در نهایت، نتیجه را با ۲ جمع می‌کنیم.

$$ large 70 + 2 = 72 $$

مثال ۳

۱۱۷ و ۶ را با تکنیک عدد مبنا با یکدیگر جمع بسته و مراحل را نشان می‌دهیم.

$$ large 117 + 6 $$

از آنجایی که این جمع از ۱۲۰ بزرگتر است، مبنا را ۱۲۰ انتخاب می‌کنیم. از طرفی وجود صفر در رقم یکان آن، جمع با اعداد بعدی را برای عدد مبنا ساده‌تر می‌کند.

پس خواهیم داشت:

$$ large 117 + underbrace{ 3 + 3 }_6 $$

حال محاسبات را ادامه می‌دهیم.

$$ large 117 + 3 + 3 = 120 + 3 = 123 $$

در این روش با شکستن یک عدد و تجزیه آن به عوامل دیگر، عمل جمع را ساده‌تر کرده و محاسبات را به صورت ذهنی انجام می‌دهیم. به این ترتیب اعداد را برمبنای رقم‌های یکان، دهگان و … جمع می‌کنیم.

برای آشنایی با این تکنیک نیز از چند مثال استفاده می‌کنیم.

مثال 4

حاصل جمع ۱۲ و ۸۸ را به کمک روش شکست و تجزیه بدست می‌آوریم. ۱۲ و ۸۸ را بر حسب یکان و دهگانشان جداگانه می‌نویسم. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large underbrace{ 10 + 2 }_{12} + underbrace{ 80 + 8 }_{88} $$

حال، یکان‌ها را جداگانه و دهگان‌ها را هم جداگانه جمع می‌کنیم، زیرا می‌دانیم که جمع دارای خاصیت شرکت‌پذیری است. واضح است که در اینجا از جمع اعداد زیبا که در بالا به آن اشاره کردیم، استفاده خواهیم کرد. پس داریم:

$$ large underbrace{10 + 80}_{90} + underbrace{ 2 + 8 }_{10} $$

از آنجایی که ۸+۲ شامل یک ده بر یک خواهد بود، باید به دهگان یک واحد اضافه کنیم. پس حاصل جمع برابر است با ۱۰۰.

$$ large 80 + 10 + 10 = 100 $$

نکته: می‌توانستیم برای جمع این دو عدد از شکست و تجزیه به صورت دیگری هم استفاده کنیم. راه حل دیگر در ادامه آورده شده است.

$$ large 12 + 88 = 10 + 2 + 88 = 10 + 90 = 100$$

حتی این کار را با تجزیه ۸۸ نیز می‌توان انجام داد:

$$ large 12 + 88 = 12 + 8 + 80 = 20 + 80 = 100 $$

بنابراین ممکن است به هر شکلی که برایتان راحت‌تر است، شکست و تجزیه را انجام دهید ولی همیشه نتیجه جمع یکسان خواهد بود.

مثال ۵

حاصل جمع 36 و ۷۲ را با روش شکست و تجزیه انجام می‌دهیم. ابتدا اعداد را به تفکیک یکان و دهگان می‌نویسیم.

$$ large underbrace{30 + 6}_{36} + underbrace{ 70 + 2 }_{72} $$

به کمک خاصیت شرکت‌پذیری عمل جمع می‌نویسیم، مشخص است که بخش اول شامل جمع دهگان‌ها و بخش دوم جمع یکان‌ها را محاسبه کرده است.

$$ large underbrace{ 30 + 70 } + underbrace{ 6 + 2 } $$

به این ترتیب حاصل جمع برابر با ۱۰۸ خواهد بود.

$$ large underbrace{100}_{ 30 + 70 } + underbrace{8}_{6 + 2}= 100 + 8 = 108 $$

در این تکنیک، برای جمع دو عدد، یک واحد از یکی از اعداد دزدیده شده و به عدد دیگر داده می‌شود. به این ترتیب به اصطلاح می‌گویند «یکی از اعداد گدا و دیگری ثروتمند می‌شود». باز هم برای روشن‌تر شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

البته توجه داشته باشید که این روش را برای زمانی که اعداد دو رقمی بوده و رقم یکان به ۰ یا ۵ نزدیک باشد، به خوبی عمل می‌کند.

مثال 6

حاصل جمع دو عدد ۴۹ و ۸۶ را به کمک روش دزدی رقم، انجام می‌دهیم. از آنجایی که یکان ۸۶ یعنی رقم ۶ به مقدار ۵ نزدیک است و از طرفی در ۴۹، رقم یکان با اضافه شدن یک واحد به صفر تبدیل می‌شود از تکنیک دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 86 – 1 = 85 \ large 49 + 1 = 50 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 86 + 49 = 86 – 1 + 49 + 1 $$

زیرا اضافه و کم کردن یک مقدار ثابت از حاصل جمع، نتیجه را تغییر نمی‌دهد. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large 86+49 = 86 – 1 + 49 + 1= 85 + 50 = 135 $$

مثال ۷

حاصل جمع ۵۲ و ۶۸ را هم به شیوه دزدی رقم انجام می‌دهیم ولی اینجا به نظر می‌رسد که رقم دزدیده شده از ۵۲ باید ۲ باشد.

$$ large 52 – 2 = 50 \ large 68 + 2 = 70 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 68 + 52 = 68 + 2 + 52 – 2 = 70 + 50 = 120 $$

نکته: البته این جمع را با تکنیک شکست و تجزیه و استفاده از اعداد زیبا نیز می‌توان انجام داد.

$$ large 68 + 52 = 60 + 8 + 50 + 2 = 110 + 10 = 120 $$

در روش ترکیبی، از تکنیک‌های قبلی به صورت ترکیبی برای محاسبه جمع دو عدد استفاده می‌کنیم. به این ترتیب ممکن است در یک گام از روش دزدی رقم و در گام بعدی از روش شکست و تجزیه استفاده کنیم. باز هم در اینجا برای روشن شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

نکته: اغلب برای جمع اعداد چند رقمی از روش ترکیبی استفاده می‌کنیم.

مثال 8

حاصل جمع دو عدد 462 و 379 را با ترکیب کردن چندین روش ذهنی، بدست می‌آوریم.

ابتدا با تکنیک شکست و تجزیه، صدگان و دهگان‌ها را جدا می‌کنیم.

$$ large underbrace{400 + 62}_{462} + underbrace{300 + 79}_{379} $$

با استفاده از خاصیت شرکت‌پذیری و جابجایی جمع، ابتدا صدگان‌ها و سپس دهگان‌ها را جمع می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62 + 79 $$

در این مرحله برای جمع 62 و ۷۹ نیز از دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62-1 + 79 + 1 = \ large 700 + 61 + 80 $$

به سادگی می‌توانیم با جابجایی و شکست و تجزیه بنویسیم:

$$ large 700 + 61 + 80 = 780 + 61 = 780 + 60 + 1 $$

این بار از تکنیک عدد مبنا کمک گرفته و حاصل جمع 60 با 780 را بدست می‌آوریم. واضح است که حاصل جمع ۶۰ و ۷۸۰ از ۸۰۰ بزرگتر است، پس عدد مبنا را ۸۰۰ می‌گیریم.

$$ large underbrace{800}_{780 + 20} + underbrace{40}_{ 60 – 20 } + 1 = 841 $$

در این قسمت به روش‌هایی اشاره می‌کنیم که عمل تفریق را برایتان ساده‌تر کرده و امکان انجام محاسبات ذهنی را می‌دهد و با کمی تکرار و تمرین کردن این تکنیک‌ها، سرعت انجام محاسباتتان بیشتر خواهد شد. ابتدا به مانند روش جمع اعداد مقلوب دو رقمی، به شیوه تفریق آن‌ها می‌پردازیم.

اگر قرار باشد اعداد مقلوب دو رقمی را از هم کسر کنیم کافی است تفاصل رقم یکان و دهگان یکی از آن‌ها را در ۹ ضرب کنیم. به این ترتیب تفاضل آن دو عدد محاسبه می‌شود. باز هم به همان اعداد مقلوبی که در جمع به آن‌ها پرداختیم، توجه می‌کنیم. البته تفاضل را به شکلی محاسبه می‌کنیم که همیشه رقم کوچکتر را از رقم بزرگتر کم می‌کنیم تا نتیجه تفاضل، منفی نباشد.

$$ large 4 , 1 – overbrace{ 1 ; 4 }^{ 4 – 1 = 3 } = 3 times 9 = 27 $$

$$ large 5 , 3 – overbrace{ 3 ; 5 }^{ 5 – 3 = 2 } = 2 times 9 = 18 $$

$$ large 9 , 8 – overbrace{ 8 ; 9 }^{ 9 – 8 = 1 } = 1 times 9 = 9 $$

نکته: می‌توانیم قدرمطلق تفاضل هر دو رقم را هم مبنا قرار داده و در عدد ۹ ضرب کنیم.

اغلب روش‌هایی که برای جمع سریع و ذهنی گفته شد، برای تفریق نیز قابل استفاده است. بنابراین با ذکر چند مثال، این تکنیک‌ها را برای تفریق هم به کار می‌بریم.

مثال 9

تفاضل ۹ از ۱۵ چقدر است؟ در اینجا از تکنیک عدد مبنا استفاده می‌کنیم. در واقع قرار است حاصل رابطه زیر را پیدا کنیم.

$$ large 15-9 $$

واضح است که این تفاضل از ۱۰ کوچکتر است. در این روش، مقدار ۱۰ را مبنا قرار می‌دهیم زیرا نزدیک‌ترین عدد مضرب ۱۰ است که از تفاضل این دو عدد بزرگتر است و محاسبات را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + ?}^9) $$

واضح است که به جای علامت ? باید مقدار ۴ را انتخاب کرد. در نتیجه رابطه بالا را به صورت زیر می‌نویسیم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + 4}^{9}) = 15- 5 – 4 = 10 – 4 = 6 $$

مثال ۱۰

برای محاسبه 3-22 نیز به صورت زیر عمل می‌کنیم. می‌دانیم که این تفاضل از ۱۰ بزرگتر است، پس مبنا را 20 در نظر می‌گیریم زیرا نزدیکترین مقدار به نتیجه تفاضل است که مضربی از ۱۰ خواهد بود. در نتیجه خواهیم داشت:

$$ large 22- (overbrace{2 + ?}^3) $$

حال با توجه به اینکه مقدار ? برابر با 1 خواهد بود، می‌نویسیم:

$$ large 22 – (overbrace{2 + 1}^{3}) = 22 – 2 – 1 = 20 – 1 = 19 $$

یکی دیگر از شیوه‌های معمول برای محاسبه تفریق، شمارش به بالا است. این امر به این معنی است که برای تعیین حاصل تفریق، از عدد دوم تفریق شروع کرده و عمل شمارش را انجام می‌دهیم تا به عدد اول برسیم. تعداد شمارش‌های صورت گرفته، حاصل تفریق است.

مثال ۱۱

حاصل تفاضل ۹ از ۱۵ با تکنیک شمارش به بالا به صورت زیر انجام می‌شود.

$$ large 15 – 9 $$

از عدد ۹ شروع می‌کنیم و به آن یک واحد اضافه می‌کنیم و این عمل را آنقدر تکرار می‌کنیم تا به ۱۵ برسیم. تعداد تکرارهای طی شده یا گام‌ها، حاصل تفریق است.

$$large ;;; 9 + color{blue}{1} = 10, ;; 10 + color{blue}{1} = 11, ;; 11 + color{blue}{1} = 12 , \ large 12 + color{blue}{1} = 13, ;; 13 + color{blue}{1} = 14, ;; 14 + color{blue}{1} = 15 $$

مشخص است که باید تعداد ۱ ها را بشماریم تا نتیجه تفریق بدست آید. بنابراین مقدار تفریق برابر است با ۶.

$$ large 15 – 9 = 6 $$

مثال ۱۲

مقدار ۵۹-۱۲۷ را به کمک تکنیک شمارش به بالا انجام می‌دهیم. همانطور که گفته شد از ۵۹ شمارش را آغاز می‌کنیم تا به ۱۲۷ برسیم. در گام اول داریم:

$$ large 59 + color{blue}{1} = 60 $$

از آنجایی که برای رسیدن به ۱۲۰ کافی است ۶۰ بار عمل جمع با ۱ را تکرار کنیم، پس می‌نویسیم:

$$large 59 + color{blue}{1} = 60, ;; 60 + color{blue}{60} = 120, ;; 120 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 }}^7 = 127 $$

در نتیجه حاصل این تفریق برابر است با 7+1+60=68.

مثال ۱۳

حاصل 328-572 با طی کردن گام‌های زیر با روش شمارش به بالا، مشخص می‌شود. در گام اول با شمارش از ۳۲۸ شروع کرده تا به ۳۳۰ برسیم.

$$ large 328 + color{blue}{2} = 330 $$

حالا شمارش به بالا را تا ۴۰۰ ادامه می‌دهیم.

$$ large 330 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{70} = 400 $$

از طرفی برای رسیدن به ۵۰۰ نیز باید یک جهش ۱۰۰ تایی با گام‌هایی به طول ۱ داشته باشیم.

$$ large 400 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + cdots + 1}}^{100} = 500 $$

در انتها نیز برای رسیدن به 572 باید ۷۲ گام دیگر برداریم.

$$ large 500 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{72} = 572 $$

در نتیجه حاصل تفاضل برابر است با 72+100+70+2=244.

اگر محور اعداد را برای نمایش اعداد صحیح به کار ببریم، مشخص است که تفاضل دو عدد به معنی فاصله بین آن دو در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه با توجه به مثال بالا باید فاصله بین ۳۲۸ تا ۷۷۲ شمارش و محاسبه شود. با توجه به محور، مشخص است که این فاصله شامل زیر فاصله‌های دیگری است که به آسانی در تصویر‌های زیر قابل مشاهده هستند.

گام اول:

گام دوم:

گام سوم:

با جمع کردن این فاصله‌ها، مقدار تفاضل بدست خواهد آمد.

$$ large color{blue}{ 2 + 70 + 100 + 70 + 2 } = 140 + 100 + 4 = 244 $$

به منظور آشنایی بیشتر با موضوع مربوط به این نوشتار می‌توانید دوره آموزش ویدیویی فرادرس با عنوان آموزش محاسبات سریع ریاضی را مشاهده کنید که به مباحث کامل‌ و جامعی در مورد محاسبات مربوط به جمع و تفریق ذهنی و همینطور ضرب و تقسیم را در خود جای داده است. در این آموزش به بیان تکنیک‌هایی پرداخته شده است که با یادگیری آن‌ها می‌توانید سرعت انجام عملیات ریاضی را افزایش دهید و در حل مسائل و محاسبات ریاضی از دیگران سبقت بگیرید.

فراگیری تکنیک‌های گفته شده در این آموزش شما را از ماشین حساب بی‌نیاز کرده و حتی سریع‌تر از آن می‌توانید به پاسخ مورد نظر برسید. این امر بخصوص در امتحاناتی که امکان استفاده از ماشین حساب در آن‌ها وجود ندارد (مانند آزمون استخدامی)، یک مزیت محسوب می‌شود.

در فصل اول این آموزش در مورد محاسبات سریع ضرب و تکنیک‌های آن صحبت می‌شود. در فصل دوم نیز تقسیم ذهنی مورد بحث قرار می‌گیرد. فصل سوم نیز به جمع و تفریق ذهنی اعداد صحیح می‌پردازد. لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد بحث قرار گرفته است. فصل پنجم نیز محاسبات مربوط به توابع مثلثاتی را در خود جای داده است. در آخرین فصل یعنی فصل ششم نیز به محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد پرداخته شده است.

در این نوشتار به بررسی نحوه محاسبه جمع و تفریق ذهنی و شیوه‌های مختلف آن پرداختیم. البته روش‌های ترکیبی که به صورت ابتکاری به کار می‌روند، می‌توانند راهکار مناسبی برای انجام این گونه محاسبات باشند. جمع و تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز در این بین مورد بحث قرار گرفت. هر چند شاید جمع و تفریق ذهنی اعداد در نگاه اول به نظر مشکل برسد ولی با کمی تمرین و تلاش، قواعد را فرا می‌گیرید و می‌توانید با سرعت زیاد و بدون اشتباه، جمع و تفریق ذهنی را انجام دهید و در نظر دیگران به یک فرد بسیار باهوش تبدیل شوید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های ویدیویی و همینطور نوشتارهای دیگر مجله فرادرس زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 58 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

امروزه برای محاسبه جمع، تفریق، ضرب و تقسیم اعداد از ماشین حساب استفاده می‌کنیم. در اغلب تلفن‌های همراه نیز برنامه ماشین حساب وجود دارد که می‌توانیم از آن‌ها برای انجام محاسبه مجموع خرید روزانه، باقی پول خرید و غیره استفاده کنیم. ولی اگر تلفن همراه‌تان در دسترس‌تان نباشد چه کاری باید کرد؟ تنها راه باقی‌مانده، استفاده از محاسبات بخصوص جمع و تفریق ذهنی است. ولی شاید این کار وقت‌گیر بوده و احتیاج به کاغذ و خودکار داشته باشد؛ نگران نباشید. روش‌هایی وجود دارند که محاسبات جمع و تفریق ذهنی را برایتان، راحت و ساده می‌کنند. در این نوشتار به جمع و تفریق ذهنی و سریع اعداد صحیح می‌پردازیم و از رمزهای آن آگاه خواهیم شد.

محتوای این مطلب جهت یادگیری بهتر و سریع‌تر آن، در انتهای متن به صورت ویدیویی نیز ارائه شده است.

در مطلبی که در ادامه آمده است با استفاده از مجموعه اعداد صحیح، محاسبات را انجام می‌دهیم. برای آشنایی بیشتر با این اعداد می‌توانید مطالب اعداد صحیح — به زبان ساده و اعداد طبیعی — به زبان ساده را بخوانید. همچنین خواندن متن جمع در اکسل — به زبان ساده و تفریق در اکسل — به زبان ساده نیز خالی از لطف نیست.

شاید به نظرتان افرادی که جمع و تفریق ذهنی را انجام می‌دهند، نابغه باشند. ولی آن‌ها به کمک روش‌هایی ساده، این عملیات را به سرعت انجام می‌دهند.

همانطور که در عنوان این مطلب دیده می‌شود، هدف در جمع و تفریق ذهنی پیدا کردن روش‌هایی است که به کمک آن‌ها بتوانیم به راحتی و البته با سرعت، نتایج جمع و تفریق ذهنی دو عدد را پیدا کنیم. با توجه به روابطی که بین دو عدد وجود دارد، روش‌های مختلفی برای جمع‌ و تفریق ذهنی آن‌ها ایجاد شده است. البته همیشه عمل جمع یا تفریق به صورت عادی، نتیجه بخش خواهد بود ولی در اینجا به دنبال سرعت بخشیدن به عمل جمع و تفریق ذهنی هستیم.چگونه ذهنی حساب کنیم

نکته: به این موضوع توجه داشته باشید که عملیاتی که در ادامه مرتبط با جمع و تفریق ذهنی بوده و مورد بحث قرار می‌گیرد از خاصیت‌های جابجایی، شرکت‌پذیری و پخشی عملگرهای ریاضی استفاده می‌کنند تا انجام محاسبات را به شکلی درآوردند که برای ذهن ما ساده‌تر باشد.

برای شروع کار به جمع‌کردن ذهنی اعداد می‌پردازیم. ابتدا برای جمع ساده برای اعداد یک رقمی و سپس نوع خاصی از اعداد دو رقمی روش‌هایی را معرفی کرده، سپس برای جمع اعداد مختلف، راه‌کارهایی را ارائه می‌کنیم.

زوج اعداد زیر را در نظر بگیرید:

۱ و 9

2 و ۸

۳ و ۷

۴ و ۶

۵ و ۵

همانطور که می‌بینید مجموع هر یک از این زوج‌ها برابر با مقدار ۱۰ است. هر چند این موضوع را همه می‌دانند ولی استفاده از آن برای انجام عملیات جمع و تفریق بسیار کارساز است. اجازه دهید این زوج اعداد را به عنوان اعداد زیبا نام‌گذاری کنیم. به این ترتیب هر گاه هنگام جمع کردن به این زوج‌ها برخوردید، می‌دانید که مجموعشان برابر با ۱۰ است.

یکی از نکات جالبی که در جمع‌کردن اعداد دو رقمی خاص به کار می‌رود، جمع اعداد مقلوب است. البته برای تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز قاعده‌ای وجود دارد که در ادامه با آن‌ها آشنا خواهیم شد. ابتدا تعریف دو عدد مقلوب را ارائه می‌دهیم.

دو عدد را مقلوب یکدیگر می‌گویند، اگر یکی از آن‌ها با تغییر ترتیب ارقام دیگری ساخته شده باشد. برای مثال عدد ۱۴ , 41 مقلوب یکدیگر هستند، زیرا ترتیب قرارگیری ۴ و ۱ در چهارده و چهل و یک، عکس یکدیگر است. اعداد ۵۳ و ۳۵، ۹۸ و ۸۹ نیز از این گونه هستند.

واضح است که نتیجه جمع یکان این گونه اعداد با مجموع ده‌گان آن‌ها برابر است. به این ترتیب کافی است که مجموع ارقام یکان این دو عدد را با یکدیگر جمع کرده و در عدد ۱۱ ضرب کنیم تا حاصل جمع آن دو عدد حاصل شود.

برای مثال جمع ۱۴ و ۴۱ یا ۵۳ و ۳۵ و همچنین ۹۸ و ۸۹ به شکل زیر بدست می‌آید.

$$ large 1 , 4 + overbrace{ 4 ; 1 }^{ 4 + 1 = 5 } = 5 times 11 = 55 $$

$$ large 5 , 3 + overbrace{ 3 ; 5 }^{ 3 + 5 = 8 } = 8 times 11 = 88 $$

$$ large 9 , 8 + overbrace{ 8 ; 9 }^{ 8 + 9 = 17 } = 17 times 11 = 187 $$

در ادامه روش‌های عدد مبنا، شکست و تجزیه، دزدی رقم و روش ترکیبی را فرا گرفته و برای جمع کردن به کار می‌گیریم.

با توجه به اهمیت یادگیری انجام اعمال جبری بدون نیاز به ماشین حساب، «فرادرس» اقدام به انتشار فیلم آموزش محاسبات سریع ریاضی در قالب یک آموزش ۲ ساعت و ۲۰ دقیقه‌ای کرده که در ادامه متن به آن اشاره شده است.

در تکنیک عدد مبنا، یک مقدار عددی که محاسبات براساس آن ساده‌تر است را به عنوان معیار قرار داده و سعی می‌کنیم یک یا هر دو عدد مربوط به جمع را برحسب آن بنویسیم. معمولا عدد مبنا می‌تواند ۱۰ یا ۵ باشد. انتخاب این عدد براساس دانشی است که برای جمع کردن اعداد داریم. برای مثال ممکن است فردی جمع اعداد را با ۸ به خوبی انجام دهد. بنابراین بهتر است عدد مبنا را ۸ انتخاب کند.

نکته: این روش برای زمانی که یکی از عددهای جمع، تک رقمی است، با سرعت عمل می‌کند.

در ادامه با استفاده از مثال‌هایی با تکنیک عدد مبنا آشنا خواهیم شد. توجه داشته باشید که عدد مبنا را مقداری انتخاب کنید که با استفاده از تجزیه یکی از اعداد و جمع با عدد دیگر به آن می‌رسید.

مثال ۱

فرض کنید قرار است دو عدد ۱۵ و ۸ را با یکدیگر جمع کنیم.

$$ large 15 + 8 $$

واضح است که این جمع از ۲۰ بزرگتر است. بنابراین ۲۰ را مبنا قرار می‌دهیم. مقدار ۸ را به ۵ و ۳ تفکیک می‌کنیم، زیرا ۱۵ برای آنکه به ۲۰ تبدیل شود، احتیاج به ۵ واحد دارد. پس خواهیم داشت:

$$ large 15 + underbrace{ 5 + 3 }_8 $$

به این ترتیب مجموع ۱۵ و ۵ که برابر با ۲۰ است را در ذهن قرار می‌دهیم.

$$ large underbrace{20}_{ 15 + 5 } + 3 $$

به این ترتیب جمع را به صورت زیر تکمیل می‌کنیم.

$$ large 20 +  3 = 23 $$

مثال ۲

حاصل مجموع ۶۳ و ۹ را با تکنیک عدد مبنا به صورت زیر در ذهن حل می‌کنیم. از آنجایی که مجموع این دو عدد از ۷۰ بزرگتر است، عدد مبنا را ۷۰ (که مضربی از ۱۰ است) انتخاب می‌کنیم.

$$ large 63 + 9 $$

چگونه ذهنی حساب کنیم

حال مراحل زیر را طی می‌کنیم. مشخص است که برای رسیدن به ۷۰ باید ۷ واحد به ۶۳ اضافه شده و ۷ واحد از ۹ نیز کاسته شود.

$$ large 63 + underbrace{ 7 + 2 }_9 $$

در این مرحله، عدد مبنا را بدست می‌آوریم.

$$ large underbrace{70}_{ 63 + 7 } + 2 $$

در نهایت، نتیجه را با ۲ جمع می‌کنیم.

$$ large 70 + 2 = 72 $$

مثال ۳

۱۱۷ و ۶ را با تکنیک عدد مبنا با یکدیگر جمع بسته و مراحل را نشان می‌دهیم.

$$ large 117 + 6 $$

از آنجایی که این جمع از ۱۲۰ بزرگتر است، مبنا را ۱۲۰ انتخاب می‌کنیم. از طرفی وجود صفر در رقم یکان آن، جمع با اعداد بعدی را برای عدد مبنا ساده‌تر می‌کند.

پس خواهیم داشت:

$$ large 117 + underbrace{ 3 + 3 }_6 $$

حال محاسبات را ادامه می‌دهیم.

$$ large 117 + 3 + 3 = 120 + 3 = 123 $$

در این روش با شکستن یک عدد و تجزیه آن به عوامل دیگر، عمل جمع را ساده‌تر کرده و محاسبات را به صورت ذهنی انجام می‌دهیم. به این ترتیب اعداد را برمبنای رقم‌های یکان، دهگان و … جمع می‌کنیم.

برای آشنایی با این تکنیک نیز از چند مثال استفاده می‌کنیم.

مثال 4

حاصل جمع ۱۲ و ۸۸ را به کمک روش شکست و تجزیه بدست می‌آوریم. ۱۲ و ۸۸ را بر حسب یکان و دهگانشان جداگانه می‌نویسم. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large underbrace{ 10 + 2 }_{12} + underbrace{ 80 + 8 }_{88} $$

حال، یکان‌ها را جداگانه و دهگان‌ها را هم جداگانه جمع می‌کنیم، زیرا می‌دانیم که جمع دارای خاصیت شرکت‌پذیری است. واضح است که در اینجا از جمع اعداد زیبا که در بالا به آن اشاره کردیم، استفاده خواهیم کرد. پس داریم:

$$ large underbrace{10 + 80}_{90} + underbrace{ 2 + 8 }_{10} $$

از آنجایی که ۸+۲ شامل یک ده بر یک خواهد بود، باید به دهگان یک واحد اضافه کنیم. پس حاصل جمع برابر است با ۱۰۰.

$$ large 80 + 10 + 10 = 100 $$

نکته: می‌توانستیم برای جمع این دو عدد از شکست و تجزیه به صورت دیگری هم استفاده کنیم. راه حل دیگر در ادامه آورده شده است.

$$ large 12 + 88 = 10 + 2 + 88 = 10 + 90 = 100$$

حتی این کار را با تجزیه ۸۸ نیز می‌توان انجام داد:

$$ large 12 + 88 = 12 + 8 + 80 = 20 + 80 = 100 $$

بنابراین ممکن است به هر شکلی که برایتان راحت‌تر است، شکست و تجزیه را انجام دهید ولی همیشه نتیجه جمع یکسان خواهد بود.

مثال ۵

حاصل جمع 36 و ۷۲ را با روش شکست و تجزیه انجام می‌دهیم. ابتدا اعداد را به تفکیک یکان و دهگان می‌نویسیم.

$$ large underbrace{30 + 6}_{36} + underbrace{ 70 + 2 }_{72} $$

به کمک خاصیت شرکت‌پذیری عمل جمع می‌نویسیم، مشخص است که بخش اول شامل جمع دهگان‌ها و بخش دوم جمع یکان‌ها را محاسبه کرده است.

$$ large underbrace{ 30 + 70 } + underbrace{ 6 + 2 } $$

به این ترتیب حاصل جمع برابر با ۱۰۸ خواهد بود.

$$ large underbrace{100}_{ 30 + 70 } + underbrace{8}_{6 + 2}= 100 + 8 = 108 $$

در این تکنیک، برای جمع دو عدد، یک واحد از یکی از اعداد دزدیده شده و به عدد دیگر داده می‌شود. به این ترتیب به اصطلاح می‌گویند «یکی از اعداد گدا و دیگری ثروتمند می‌شود». باز هم برای روشن‌تر شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

البته توجه داشته باشید که این روش را برای زمانی که اعداد دو رقمی بوده و رقم یکان به ۰ یا ۵ نزدیک باشد، به خوبی عمل می‌کند.

مثال 6

حاصل جمع دو عدد ۴۹ و ۸۶ را به کمک روش دزدی رقم، انجام می‌دهیم. از آنجایی که یکان ۸۶ یعنی رقم ۶ به مقدار ۵ نزدیک است و از طرفی در ۴۹، رقم یکان با اضافه شدن یک واحد به صفر تبدیل می‌شود از تکنیک دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 86 – 1 = 85 \ large 49 + 1 = 50 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 86 + 49 = 86 – 1 + 49 + 1 $$

زیرا اضافه و کم کردن یک مقدار ثابت از حاصل جمع، نتیجه را تغییر نمی‌دهد. به این ترتیب خواهیم داشت:

$$ large 86+49 = 86 – 1 + 49 + 1= 85 + 50 = 135 $$

مثال ۷

حاصل جمع ۵۲ و ۶۸ را هم به شیوه دزدی رقم انجام می‌دهیم ولی اینجا به نظر می‌رسد که رقم دزدیده شده از ۵۲ باید ۲ باشد.

$$ large 52 – 2 = 50 \ large 68 + 2 = 70 $$

پس می‌توان نوشت:

$$ large 68 + 52 = 68 + 2 + 52 – 2 = 70 + 50 = 120 $$

نکته: البته این جمع را با تکنیک شکست و تجزیه و استفاده از اعداد زیبا نیز می‌توان انجام داد.

$$ large 68 + 52 = 60 + 8 + 50 + 2 = 110 + 10 = 120 $$

در روش ترکیبی، از تکنیک‌های قبلی به صورت ترکیبی برای محاسبه جمع دو عدد استفاده می‌کنیم. به این ترتیب ممکن است در یک گام از روش دزدی رقم و در گام بعدی از روش شکست و تجزیه استفاده کنیم. باز هم در اینجا برای روشن شدن موضوع از چند مثال استفاده می‌کنیم.

نکته: اغلب برای جمع اعداد چند رقمی از روش ترکیبی استفاده می‌کنیم.

مثال 8

حاصل جمع دو عدد 462 و 379 را با ترکیب کردن چندین روش ذهنی، بدست می‌آوریم.

ابتدا با تکنیک شکست و تجزیه، صدگان و دهگان‌ها را جدا می‌کنیم.

$$ large underbrace{400 + 62}_{462} + underbrace{300 + 79}_{379} $$

با استفاده از خاصیت شرکت‌پذیری و جابجایی جمع، ابتدا صدگان‌ها و سپس دهگان‌ها را جمع می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62 + 79 $$

در این مرحله برای جمع 62 و ۷۹ نیز از دزدی رقم استفاده می‌کنیم.

$$ large 400 + 300 + 62 + 79 = 700 + 62-1 + 79 + 1 = \ large 700 + 61 + 80 $$

به سادگی می‌توانیم با جابجایی و شکست و تجزیه بنویسیم:

$$ large 700 + 61 + 80 = 780 + 61 = 780 + 60 + 1 $$

این بار از تکنیک عدد مبنا کمک گرفته و حاصل جمع 60 با 780 را بدست می‌آوریم. واضح است که حاصل جمع ۶۰ و ۷۸۰ از ۸۰۰ بزرگتر است، پس عدد مبنا را ۸۰۰ می‌گیریم.

$$ large underbrace{800}_{780 + 20} + underbrace{40}_{ 60 – 20 } + 1 = 841 $$

در این قسمت به روش‌هایی اشاره می‌کنیم که عمل تفریق را برایتان ساده‌تر کرده و امکان انجام محاسبات ذهنی را می‌دهد و با کمی تکرار و تمرین کردن این تکنیک‌ها، سرعت انجام محاسباتتان بیشتر خواهد شد. ابتدا به مانند روش جمع اعداد مقلوب دو رقمی، به شیوه تفریق آن‌ها می‌پردازیم.

اگر قرار باشد اعداد مقلوب دو رقمی را از هم کسر کنیم کافی است تفاصل رقم یکان و دهگان یکی از آن‌ها را در ۹ ضرب کنیم. به این ترتیب تفاضل آن دو عدد محاسبه می‌شود. باز هم به همان اعداد مقلوبی که در جمع به آن‌ها پرداختیم، توجه می‌کنیم. البته تفاضل را به شکلی محاسبه می‌کنیم که همیشه رقم کوچکتر را از رقم بزرگتر کم می‌کنیم تا نتیجه تفاضل، منفی نباشد.

$$ large 4 , 1 – overbrace{ 1 ; 4 }^{ 4 – 1 = 3 } = 3 times 9 = 27 $$

$$ large 5 , 3 – overbrace{ 3 ; 5 }^{ 5 – 3 = 2 } = 2 times 9 = 18 $$

$$ large 9 , 8 – overbrace{ 8 ; 9 }^{ 9 – 8 = 1 } = 1 times 9 = 9 $$

نکته: می‌توانیم قدرمطلق تفاضل هر دو رقم را هم مبنا قرار داده و در عدد ۹ ضرب کنیم.

اغلب روش‌هایی که برای جمع سریع و ذهنی گفته شد، برای تفریق نیز قابل استفاده است. بنابراین با ذکر چند مثال، این تکنیک‌ها را برای تفریق هم به کار می‌بریم.

مثال 9

تفاضل ۹ از ۱۵ چقدر است؟ در اینجا از تکنیک عدد مبنا استفاده می‌کنیم. در واقع قرار است حاصل رابطه زیر را پیدا کنیم.

$$ large 15-9 $$

واضح است که این تفاضل از ۱۰ کوچکتر است. در این روش، مقدار ۱۰ را مبنا قرار می‌دهیم زیرا نزدیک‌ترین عدد مضرب ۱۰ است که از تفاضل این دو عدد بزرگتر است و محاسبات را به صورت زیر در نظر می‌گیریم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + ?}^9) $$

واضح است که به جای علامت ? باید مقدار ۴ را انتخاب کرد. در نتیجه رابطه بالا را به صورت زیر می‌نویسیم.

$$ large 15 – (overbrace{5 + 4}^{9}) = 15- 5 – 4 = 10 – 4 = 6 $$

مثال ۱۰

برای محاسبه 3-22 نیز به صورت زیر عمل می‌کنیم. می‌دانیم که این تفاضل از ۱۰ بزرگتر است، پس مبنا را 20 در نظر می‌گیریم زیرا نزدیکترین مقدار به نتیجه تفاضل است که مضربی از ۱۰ خواهد بود. در نتیجه خواهیم داشت:

$$ large 22- (overbrace{2 + ?}^3) $$

حال با توجه به اینکه مقدار ? برابر با 1 خواهد بود، می‌نویسیم:

$$ large 22 – (overbrace{2 + 1}^{3}) = 22 – 2 – 1 = 20 – 1 = 19 $$

یکی دیگر از شیوه‌های معمول برای محاسبه تفریق، شمارش به بالا است. این امر به این معنی است که برای تعیین حاصل تفریق، از عدد دوم تفریق شروع کرده و عمل شمارش را انجام می‌دهیم تا به عدد اول برسیم. تعداد شمارش‌های صورت گرفته، حاصل تفریق است.

مثال ۱۱

حاصل تفاضل ۹ از ۱۵ با تکنیک شمارش به بالا به صورت زیر انجام می‌شود.

$$ large 15 – 9 $$

از عدد ۹ شروع می‌کنیم و به آن یک واحد اضافه می‌کنیم و این عمل را آنقدر تکرار می‌کنیم تا به ۱۵ برسیم. تعداد تکرارهای طی شده یا گام‌ها، حاصل تفریق است.

$$large ;;; 9 + color{blue}{1} = 10, ;; 10 + color{blue}{1} = 11, ;; 11 + color{blue}{1} = 12 , \ large 12 + color{blue}{1} = 13, ;; 13 + color{blue}{1} = 14, ;; 14 + color{blue}{1} = 15 $$

مشخص است که باید تعداد ۱ ها را بشماریم تا نتیجه تفریق بدست آید. بنابراین مقدار تفریق برابر است با ۶.

$$ large 15 – 9 = 6 $$

مثال ۱۲

مقدار ۵۹-۱۲۷ را به کمک تکنیک شمارش به بالا انجام می‌دهیم. همانطور که گفته شد از ۵۹ شمارش را آغاز می‌کنیم تا به ۱۲۷ برسیم. در گام اول داریم:

$$ large 59 + color{blue}{1} = 60 $$

از آنجایی که برای رسیدن به ۱۲۰ کافی است ۶۰ بار عمل جمع با ۱ را تکرار کنیم، پس می‌نویسیم:

$$large 59 + color{blue}{1} = 60, ;; 60 + color{blue}{60} = 120, ;; 120 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 }}^7 = 127 $$

در نتیجه حاصل این تفریق برابر است با 7+1+60=68.

مثال ۱۳

حاصل 328-572 با طی کردن گام‌های زیر با روش شمارش به بالا، مشخص می‌شود. در گام اول با شمارش از ۳۲۸ شروع کرده تا به ۳۳۰ برسیم.

$$ large 328 + color{blue}{2} = 330 $$

حالا شمارش به بالا را تا ۴۰۰ ادامه می‌دهیم.

$$ large 330 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{70} = 400 $$

از طرفی برای رسیدن به ۵۰۰ نیز باید یک جهش ۱۰۰ تایی با گام‌هایی به طول ۱ داشته باشیم.

$$ large 400 + overbrace{color{blue}{1 + 1 + cdots + 1}}^{100} = 500 $$

در انتها نیز برای رسیدن به 572 باید ۷۲ گام دیگر برداریم.

$$ large 500 + overbrace{color{blue}{ 1 + 1 + cdots + 1 }}^{72} = 572 $$

در نتیجه حاصل تفاضل برابر است با 72+100+70+2=244.

اگر محور اعداد را برای نمایش اعداد صحیح به کار ببریم، مشخص است که تفاضل دو عدد به معنی فاصله بین آن دو در نظر گرفته می‌شود. در نتیجه با توجه به مثال بالا باید فاصله بین ۳۲۸ تا ۷۷۲ شمارش و محاسبه شود. با توجه به محور، مشخص است که این فاصله شامل زیر فاصله‌های دیگری است که به آسانی در تصویر‌های زیر قابل مشاهده هستند.

گام اول:

گام دوم:

گام سوم:

با جمع کردن این فاصله‌ها، مقدار تفاضل بدست خواهد آمد.

$$ large color{blue}{ 2 + 70 + 100 + 70 + 2 } = 140 + 100 + 4 = 244 $$

به منظور آشنایی بیشتر با موضوع مربوط به این نوشتار می‌توانید دوره آموزش ویدیویی فرادرس با عنوان آموزش محاسبات سریع ریاضی را مشاهده کنید که به مباحث کامل‌ و جامعی در مورد محاسبات مربوط به جمع و تفریق ذهنی و همینطور ضرب و تقسیم را در خود جای داده است. در این آموزش به بیان تکنیک‌هایی پرداخته شده است که با یادگیری آن‌ها می‌توانید سرعت انجام عملیات ریاضی را افزایش دهید و در حل مسائل و محاسبات ریاضی از دیگران سبقت بگیرید.

فراگیری تکنیک‌های گفته شده در این آموزش شما را از ماشین حساب بی‌نیاز کرده و حتی سریع‌تر از آن می‌توانید به پاسخ مورد نظر برسید. این امر بخصوص در امتحاناتی که امکان استفاده از ماشین حساب در آن‌ها وجود ندارد (مانند آزمون استخدامی)، یک مزیت محسوب می‌شود.

در فصل اول این آموزش در مورد محاسبات سریع ضرب و تکنیک‌های آن صحبت می‌شود. در فصل دوم نیز تقسیم ذهنی مورد بحث قرار می‌گیرد. فصل سوم نیز به جمع و تفریق ذهنی اعداد صحیح می‌پردازد. لگاریتم و محاسبات برمبنای آن نیز در فصل چهارم مورد بحث قرار گرفته است. فصل پنجم نیز محاسبات مربوط به توابع مثلثاتی را در خود جای داده است. در آخرین فصل یعنی فصل ششم نیز به محاسبه سریع جذر یا ریشه دوم اعداد پرداخته شده است.

در این نوشتار به بررسی نحوه محاسبه جمع و تفریق ذهنی و شیوه‌های مختلف آن پرداختیم. البته روش‌های ترکیبی که به صورت ابتکاری به کار می‌روند، می‌توانند راهکار مناسبی برای انجام این گونه محاسبات باشند. جمع و تفریق اعداد مقلوب دو رقمی نیز در این بین مورد بحث قرار گرفت. هر چند شاید جمع و تفریق ذهنی اعداد در نگاه اول به نظر مشکل برسد ولی با کمی تمرین و تلاش، قواعد را فرا می‌گیرید و می‌توانید با سرعت زیاد و بدون اشتباه، جمع و تفریق ذهنی را انجام دهید و در نظر دیگران به یک فرد بسیار باهوش تبدیل شوید.

اگر این مطلب برای شما مفید بوده است، آموزش‌های ویدیویی و همینطور نوشتارهای دیگر مجله فرادرس زیر نیز به شما پیشنهاد می‌شوند:

آرمان ری بد (+)

«آرمان ری‌بد» دکتری آمار در شاخه آمار ریاضی دارد. از علاقمندی‌های او، یادگیری ماشین، خوشه‌بندی و داده‌کاوی است و در حال حاضر نوشتارهای مربوط به آمار و یادگیری ماشین را در مجله فرادرس تهیه می‌کند.

بر اساس رای 58 نفر

آیا این مطلب برای شما مفید بود؟

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

سازمان علمی و آموزشی «فرادرس» (Faradars) از قدیمی‌ترین وب‌سایت‌های یادگیری آنلاین است که توانسته طی بیش از ده سال فعالیت خود بالغ بر ۱۲۰۰۰ ساعت آموزش ویدیویی در قالب فراتر از ۲۰۰۰ عنوان علمی، مهارتی و کاربردی را منتشر کند و به بزرگترین پلتفرم آموزشی ایران مبدل شود.

فرادرس با پایبندی به شعار «دانش در دسترس همه، همیشه و همه جا» با همکاری بیش از ۱۸۰۰ مدرس برجسته در زمینه‌های علمی گوناگون از جمله آمار و داده‌کاوی، هوش مصنوعی، برنامه‌نویسی، طراحی و گرافیک کامپیوتری، آموزش‌های دانشگاهی و تخصصی، آموزش نرم‌افزارهای گوناگون، دروس رسمی دبیرستان و پیش دانشگاهی، آموزش‌های دانش‌آموزی و نوجوانان، آموزش زبان‌های خارجی، مهندسی برق، الکترونیک و رباتیک، مهندسی کنترل، مهندسی مکانیک، مهندسی شیمی، مهندسی صنایع، مهندسی معماری و مهندسی عمران توانسته بستری را فراهم کند تا افراد با شرایط مختلف زمانی، مکانی و جسمانی بتوانند با بهره‌گیری از آموزش‌های با کیفیت، به روز و مهارت‌محور همواره به یادگیری بپردازند. شما هم با پیوستن به جمع بزرگ و بالغ بر ۶۰۰ هزار نفری دانشجویان و دانش‌آموزان فرادرس و با بهره‌گیری از آموزش‌های آن، می‌توانید تجربه‌ای متفاوت از علم و مهارت‌آموزی داشته باشید.
مشاهده بیشتر

هر گونه بهره‌گیری از مطالب مجله فرادرس به معنی پذیرش شرایط استفاده از آن بوده و کپی بخش یا کل هر کدام از مطالب، تنها با کسب مجوز مکتوب امکان پذیر است.

© فرادرس ۱۳۹۹

آموزش ریاضی با مهندس رضا باغدار

سایت مهندس رضا باغدار برای آموزش ریاضی، محاسبه سریع و آماده سازی دانش آموزان برای آزمونهای نمونه دولتی و تیزهوشان و کنکور

شاید شما  بدون استفاده از ماشین حساب یا قلم و کاغذ حتی توانایی محاسبه جمع و تفریق اعداد دو رقمی یا ضرب اعداد دو رقمی را نداشته باشید.برای غلبه بر این مشکل به شما توصیه می کنم؛ نگاهی به مطالب ک نگاهی به مطالب این بخش بیندازید.

در این جا سعی شده است تا با بیان روشهای خلاقانه به تقویت ذهن محاسباتی شما کمک شود.با این بخش می توانید به عنوان یک سرگرمی و بازی با ریاضی روبرو شوید.چگونه ذهنی حساب کنیم

روشهای محاسبه سریع بخش بسیار جذابی از آموزش ریاضی است که در اینجا به برخی روشهای آن می پردازیم.

ساده ترین و شیرین ترین روشهای محاسبات سریع در بخش ضرب اعداد دیده می شوند.

ویژگی اعداد خاص در این ضربها و توجه به برخی تکنیکها انجام عمل ضرب را بسیار سرعت می بخشد.

برای ضرب اعداد در ۵ معمولا افراد از سمت چپ شروع به ضرب عدد ۵ در ارقام عدد دیگر می کنند.این روش برای همه لزوما روشی سریع نیست. اما می توان همین ضرب را با تبدیل ضرب به نصف کردن عدد بسیار سریع تر انجام داد.

برای مشاهده آموزش سریع ضرب هر عددی در ۵ فیلم آموزشی زیر را مشاهده نمایید.

دانلود رایگان فیلم آموزشی ضرب سریع اعداد در ۵برای ضرب سریع اعداد در 50 یا 500 یا 5000 هم کافی است عدد را به همین روش در 5 ضرب کنید. سپس به تعداد صفرهای جلوی 5 مقابل حاصل ضرب صفر بگذارید.

تا حالا فکر کردید چگونه می توان حاصل ضرب ۱۱ در ۳۲ را در کمتر از ۲ ثانیه به دست آورد؟!بله این واقعیت داره برای ایمان پیدا کردن به این حرف کافیه مطلب این بخش رو دنبال کنید.خواهید دید که با این شیوه، ضرب ۱۱ در هر عددی به سرعت قابل محاسبه است .

دوستانی که در کلاسها یا نمایشگاه همراه من بوده اند؛ تکنیک اسکی را هم به عنوان گیره ذهنی به خاطر سپرده اند.

برای ضرب سریع ۱۱ در هر عددی حداقل سه ترفند محاسبه سریع وجود دارد:۱- ضرب عدد در ۱۰ و جمع کردن با خودش(این تکنیک به نوعی همان تکنیک ضرب از سمت چپ به راست است)۲- جمع در وسط (مخصوص ضرب سریع ۱۱ در اعداد دو رقمی است و تعمیم آن به اعداد با ارقام بیشتر مشابه روش سوم خواهد بود.)۳- استفاده از صفر به عنوان همسایه عددی که در ۱۱ ضرب می شود!از اینجا شما می توانید فیلم آموزشی مربوط به ضرب سریع ۱۱ در اعداد دو رقمی را دانلود کنید.

روش ارائه شده در فیلم آموزشی با کمی دقت و خلاقیت  به اعداد با بیش از دو رقم هم قابل تعمیم است.

برای درک بهتر در ادامه فیلم آموزشی زیر را به صورت کلی به آموزش ضرب سریع اعداد در عدد 11 می پردازد ببینید

 

برای محاسبه سریع مربع اعداد با رقم یکان 5 دو مرحله ساده داریم:

سمت چپ رقم 5 را در یک واحد بیشتر از خودش ضرب کن.

جلو عدد حاصل 25 بذار!

مثلا مربع 65 به صورت زیر به دست می آید:

رقم سمت چپ 5، 6 است. 6 ضربدر 7 میشه 42. پس مربع 65 برابر است با 4225.

رقم سمت چپ 5، 99 است. 99 ضربدر 100 میشه 9900. پس مربع 995 برابر است با 990025.

شاید کسانی را دیده باشید که در جمع اعداد یک رقمی که حاصل آن ها بزرگتر از ۱۰ می شود؛ هم دچار مشکل هستند . چه رسد به جمع اعداد چند رقمی با یکدیگر.

از طرفی با افرادی را می بینیم که بسیاری از محاسبات، حداقل محاسبات مربوط به جمع و تفریق را با سرعت خوبی انجام می دهند.شاید بخشی از تفاوت این دو دسته در میزان تمرین و ممارست آنها باشد.

استفاده از تکنیک های ساده و ترفندهای جالبی که در زمینه افزایش سرعت محاسبات ریاضی است. در عمل جمع نیز خودنمایی می کنند.به عنوان نمونه برای جمع اعدادی که رقم یکان آنها بزرگتر یا مساوی با ۵ است:

یک واحد به دهگان عددی که با ۵ جمع می شود؛ اضافه کنید. سپس ۵ واحد از یکان حاصل جمع کم کنید.  حاصل جمع نهایی خواهد بود.یکی از روشهای بسیار مفید در جمع اعداد، کمک گرفتن از نزدیکترین عدد صفر دار به عدد ماست.

مثلا در جمع ۱۹ و ۷ ، عدد نوزده به بیست نزدیک است . فقط یک واحد با آن اختلاف دارد. پس یک واحد از ۷ قرض می گیرد. به بیست می رسد. حال با محاسبه حاصل جمع ۲۰ و ۶ به سادگی انجام می شود.

برای غالب افراد انجام عمل ضرب بسیار ساده تر از عمل تقسیم است .

مبنای یکی از روشهای محاسبه سریع تقسیم نیز تبدیل تقسیم به ضرب می باشد.

برای آشنایی با این روش ویدئوی آموزشی زیر را مشاهده کنید.

دانلود فیلم آموزشی محاسبه سریع تقسیم به کمک تبدیل تقسیم به ضربحال مهارت خود در آموزش ارائه شده را محک بزنید. سعی کنید تمرینات زیر را با با روش گفته شده در این بخش انجام دهید.

حل تمرین زیر مهارت شما را در به کار گیری روش آموزش داده شده بیشتر می کند.

با این روش دانش آموزان دوره ابتدایی به خوبی آشنا هستند!

آنها برای به دست آوردن حاصل تقسیم های اعشاری معمولا عوامل تقسیم را در اعدادی ضرب می کنند. با این کار اعشار در مقسوم علیه از بین می رود. 

با بسط این روش به سایر تقسیم ها نیز می توان محاسبه را سریع تر انجام داد.

ضرب کردن مقسوم و مقسوم علیه در برخی اعداد ، آنها را تبدیل به تقسیمهای بسیار ساده تری می نماید. مثلا به جای تقسیم بر یک و نیم؛ می توانیم تقسیم بر سه را جایگزین کنیم. این کار تنها با ضرب مقسوم و مقسوم علیه در عدد دو امکان پذیر است.چگونه ذهنی حساب کنیم

آنچه در اینجا دیدید بخشی از تکنیکها و ترفندهای مربوط به محاسبات سریع می باشد.

خبر خوشی داریم برای دوستانی که تمایل دارند به صورت غیرحضوری این آموزشها را دریافت کنند .

به زودی آموزش مربوط به جمع و تفریق، ضرب و تقسیم در قالب فایلهای پاورپوینت برای شما عزیزان در سایت بارگذاری می گردد.

سلام
واقعا عالی بود ممنون
میشه لطفا حاصل ضرت راحت اعداد دیگه هم اموزش بدید؟
ممنون

سلام چشم

بسیار ممنون

کارتون حرف نداشت…

خیلی ممنونم
لطف دارید!

سلام ببخشید من دهم هستم رشته ام هم ریاضی است میخواهم تکنیک های بسیار زیادی از جبر ومعادله یاد بگیرم یکی از همکلاسی هایم درجبر عالی است میخواهم جبرم مثل آن شود پیشنهادتون برای من چیه؟چه کتابی بهم معرفی میکنید؟

بله من ذهنی حساب میکنم تا با جبر و معادله اگه میشه بهترین چیزی که با آن جبر راهم قوی میکند بگید چون المپیاد ریاضی هم میدهم.

سلام وقت بخیر
برای المپیاد به نظرم بهترین منبع سوالات سالهای گذشته و کتابهایی است که پاسخ این سوالات را به صورت تشریحی ارائه کرده اند. کتب انتشارات فاطمی باشد.

سلام وقت بخیر میشه همه ی محصولاتتون رو برام بگین تا هر کدام که نیاز داشتم رو ازتون بخرم خیلی ممنون میشم

سلام
تکنیکها در قالب فایلهای پاورپوینت و پی دی اف قابل عرضه هستند.عمدتا مربوط به محاسبات اعداد خاص می باشند.

عالی بود. ممنون.

سلام استاد من 32 سالمه و قبلا عاشق ریاضی بودم. رشته ام اقتصاد. البته 10 سال گذشته و نمیدونم یادم مونده جیزی یانه. میخوام معلم ریاضی بشم مثل خودتون میشه راهنمایی ام کنید؟؟در دبیرستان همیشه نمره ریاضی ام 20 بود دانشگاه 17

سلام وقت بخیر
اگر از رشته انسانی به اقتصاد رفته اید احتمالا یه مقدار کار براتون سخت باشه چون عموم بچه های انسانی در درس ریاضی مشکل دارن حتی بچه هایی که ظاهرا نمرات خوبی گرفتن.
یکی از بهترین جاها برای شروع تدریس همکاری با آموزشگاه ها به خصوص قلمچی و گزینه 2 هست. اول انتخاب کنید می خواید روی چه پایه ای کار کنید و توصیه می کنم از پایه های پایین تر شروع کنید که سبک بیانتون به مرور بهتر بشه. بعد برید سراغ آموزشگاه ها یا مدارس و به عنوان معلم یار، پشتیبان و یا … کار رو شروع کنید. تدریس به بچه های فامیل و دوستان هم می تونه شروع خوبی باشه.

سلام بسیار مفید بود متشکرم.

سلام. خوشحالم مطالب براتون مفید بود.

هیچی از ریاضی رو نمیدونم . متنفرم از ریاضی . اما بعضی وقتا کارم به ریاضی گیر میکنه چیکار کنم بتونم ببه ریاضی علاقمند بشم

راه های زیادی هست.
معمولا آدما از کارایی که براشون سخته خوششون نمیاد.پس دنبال ساده کردن این راه سخت باشید.
۱. از پایه شروع کنید.کتابهای درسی مقطع پایه را بخونید.کتابهای کمک درسی رو بخونید.خودتون تمرین حل کنید.
۲. یه معلم عاشق پیدا کنید و ازش ریاضی رو به زبان ساده یاد بگیرید.کسی که بپذیره مشکل شما با ریاضی لزوما ربطی به هوشتون نداره و شاید رفتارای بد معلما باعث شده از ریاضی خوشتون نیاد و همین دوست نداشتن ریاضی باعث تمرین نکردن و تشدید ضعفاتون بشه. بگردید ازین معلمای خوب هم دور و برتون پیدا میشن.شاید حتی شغل رسمی شون معلمی نباشه اما عاشق ریاضی باشن.
احتمالا مطالب سایت ما هم بتونه یه خورده کمکتون کنه.خوشحال میشم بتونم همراهتون باشم.

سلام امکانش هست واسم ایمیل کنید – هزینه اش هم میشه لطف کنید ایمیل کنید .

سلام
در حال حاضر دو محصول به عنوان نمونه در اختیار همراهان سایت قرار می گیرد. در صورت مفید بودن محصولات ارائه شده لیست سایر محصولات در اختیارتان قرار می گیرد تا حسب مورد درخواست نمایید.
ضرب سریع اعداد دو رقمی (فایل پاورپوینت به قیمت 2000 تومان)
ضرب سریع اعداد دو رقمی خاص در سه ثانیه! (فایل پاورپوینت به قیمت 2000 تومان)

سلام چطوری پرداخت کنم ؟؟

سلام
به کارت تجارت به شماره 5859831036176732 هزینه را واریز کنید. ضمنا ایمیل صحیح خود را برای دریافت فایل های ارسالی ما به شماره 09356816738 پیامک کنید.

روز بخیر جناب مهندس
من دانشجوی رشته کامپیوتر هستم و در مورد ریاضیات جدید به کمک نیاز دارم ایا امکان دارد از طریق شماره ای که می دهم در واتس آپ به من پیام بدهید من مجموعه کاملی از اموزشهای شما را نیاز دارم اما اول می خواهم با شما مشورت کنم دقیق نمی دانم شما آنها را کار کرده اید یا خیر
با تشکر فراوان از مباحث بسیار آموزنده و شیوه بیان زیبای شما
091……… الی

سلام خانم مهندس
وقتتون بخیر. لطف بفرمایید از طریق ایمیل موارد مدنظرتون رو برام ارسال کنید. reza.baghdar@gmail.com یا با شماره 09356816738 تماس بگیرید.

سلام به استاد و شاگردان وفادارش !

سلام علیکم! کاش یه معرفی هم می کردی!

سلام بسیار عالی ممنون از شما.

سلام
خوشحالم مطالب سایت براتون مفید بوده

عالی قشنگ بود

باسلام
تشکراز مطالب وفیلم های آموزشی اگر محبت کنید محاسبات سرعتی جمع و تفریق برای دانش آموزان ابتدایی هم بگذارید واقعا سپاسگزارم

سلام. آلو (عالی) بود.حرف ندارین ، چون باعددسروکاردارین!!!

سلام چرا بخش تقسینم دانلود نمیشه

سلام
لطفا دوباره روی لینک بزنید تا به صفحه دانلود هدایت شوید. لینک و دانلود چک شد و مشکلی وجود نداشت.

سلام.تازه با سایت شما آشنا شدم.یه سری از نکات رو طول میکشه بفهمم ولی در کل باعث میشه بهتر درس های ریاضی رو فهمید.ممنونم از زحمات شما و موفق باشید.

سلام
خوشحالم مطالب براتون مفید بوده.

سلام خیلی حیلی ممنون

سلام عالی بود

سلام عالی بود

سلام ، بسیار عالی
بنده خودم روش سریع ضرب و دارم روش کار میکنم که به نتایجی هم دست پیدا کردم ولی چون میخوام برای 3رقم در 3 رقم و حتی بالاتر یک کلیت حل واحد داشته باشه هنوز کامل نشد

سلام. خیلی خوبه. توی بحث ضرب های بیش از دو رقم به جز حالات خاصی نظیر اعداد با دهگان صفر یا ابتدای مشترک یا انتهای مشترک، روشها نسبتا طولانی میشن و با فلسفه ضرب سریع فاصله می گیرن هرچند استفاده از اتحادهای جبری و برخی ساده سازی ها هم کار را به نسبت ساده می کنه اما به نظرم چندان سریع نیستند. امیدوارم موفق باشید.

با سلا مهمه ی این تکنیک هایی که نام برده شده،در کتابی با نام جمع و تفریق سریع ریاضیاتMBMموجود می باشد.
در مثال که نام برده شد با دوبرابر کردن عددمان وسپس یک رقم اعشار رفتن می توان به حاصل عدد تقسیم بر پنج پاسخ داد.

سلام بله مهندس باقری در کتاباشون این تکنیکها رو آموزش دادن. البته افراد سرشناس زیادی مثل آرتور بنجامین و آقای بیات در ایران هم نمونه های خوبی دارند.در این بخش قراره جمع بندی مناسبی از این روشها را ارائه کنیم که به مرور زمان تکمیل میشه.

سلام خسته نباشید مطالبتون عالی بود
میخواستم بدونم از نظر شرعی اشکالی نداره که برای مقالم از مطالبتون استفاده کنم؟

سلام
مشکلی نیست. سوالی بود در خدمتم

خیلییی خیلییی ممنونم از زحمت تون

سلام.داداش کوچیکه ی من ۵ابتدائیه و بزرگترین مشکلش ریاضیه
بنده واسه راهنماییش از کلیپ های شما کمک گرفتم.کارتون عالیه.امیدوارم به اندازه ی وسعت مهربونیتون خدا به زندگیتون برکت بده.اگه ممکنه ازطریق دیگه ای ازتون کمک گرفت خوشحال میشیم بهمون بگید؟اجازه داریم باهاتون تماس بگیریم؟

سلام
در خدمتم. اگه امکان پاسخ داشته باشم خوشحال می شم بتونم کمکتون کنم.

دمتون گرم

لطف دارید. خوشحالم راضی بودید از مطابم

واقعا عالی بود دستتون طلا اگه میشه بیشتر بزارید.

متشکر. اونوقت اگر بخوایم بر. 0.25یا0.05ضرب کنیم تکلیف رقما که اعشار میخوره چی میشه نفهمیدم

برای پیاده سازی تکنیک ضرب 5 در اعدادمختلف برای اعدادی مثل 0.5 یا 0.05 کافیه بعد از به دست آوردن حاصل به تعداد اعشار (مثلا برای 0.05 دو رقم) اگر حاصل عدد صحیح شد اعشار بزنیم و اگر حاصل عدد اعشاری شد به ارقام اعشار اضافه کنیم. برای 0.25 هم به طور مشابه.

سلام خسته نباشید مطالبتون عالی بود
میخواستم بدونم از نظر شرعی اشکالی نداره که برای مقالم از مطالبتون استفاده کنم؟

سلام
سلامت باشید. اینا رایگان قرار گرفته برای نشر پیدا کردن! ذکر منبع هم بفرمایید عالی می شه!

اعشار 2.5 میشه دهم.. .25 هیچی اعشار نمیخوره… 250 اعشار نمیخوره درعوض یه صفر باید بزاری جلوی جوابت….طبق قاعده کلی بسنج…

به تعداد ارقام اعشاری عدد به فرم 25 (چه 0.25 ، چه 0.000025 یا هر چیز دیگه) باید به حاصل نکته گفته شده اعشار بزنیم و اگر جلوش صفر بود به تعداد صفرها در جلوی 1 صفر می گذاریم و در حاصل ضرب می کنیم.

خیلی عالیه من همیشه تو جمع وتفریق خیلی مشکل داشتم وبقیه منو مسخره میکردن ولی با استفاده از مطالب سایتتون مشکلم حل شد خیلی ممنون

عالییییییییییییییی بود ممنون از زحماتتون

سلام.عالی بود. کاش عدد های بزرگ رو هم تقسیم میکردید ما متوجه بشیم.

سلام. ممنون. در سایت برای آشنایی مخاطبین مقدماتی از روشهای محاسبات سریع را ارائه کردم.
برای تقسیم، استفاده از مضارب آشنا یکی از کارامدترین روشهای ذهنی است. مثلا اگر شما بخواهید 3568 را بر 36 تقسیم کنید با یک نگاه ساده عدد 3600 را از میان مضارب 36 در ذهن خواهید داشت که 32 واحد بزرگتر از عدد داده شده است. لذا بدون انجام عملیات تقسیم، می دانیم یک بسته 36 تایی از 100 بسته 36 تایی باید برداریم تا به عدد 3568 نزدیک شویم. با این کار تنها 4 واحد از عدد مورد نظر کم داریم یعنی خارج قسمت 99 و باقیمانده 4 خواهد بود.

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

دیدگاه

نام *

ایمیل *

وب‌ سایت

ذخیره نام، ایمیل و وبسایت من در مرورگر برای زمانی که دوباره دیدگاهی می‌نویسم.

لطفا پس از واریز هزینه فایل ،  تصویر مربوط به واریز را به ایمیل reza.baghdar@gmail.com ارسال کنید. همچنین می توانید پیامکی شامل مشخصات جزوه و تراکنش انجام شده را به شماره 09356816738 ارسال نمایید. حداکثر ظرف مدت 24 ساعت رمز فایلها برایتان ارسال شود.

در رضا باغدار دات آر rezabaghdar.ir برآنیم تا با ویدئوهای آموزشی، خلاصه درس ها، سوالات امتحانی و آزمون هایی که در اختیار شما عزیزان قرار می دهیم توانایی شما را در حل مسائل و تستهای ریاضی افزایش دهیم. این سایت دانش آموزان متوسطه اول علی الخصوص دانش آموزان پایه نهم را مخاطب اصلی خود می داند.

جادوی ریاضیات و آموزش تکنیک های محاسبات سریع نیز از خدماتی است که در اختیار شما عزیزان قرار می گیرد.

هماهنگی کلاسهای خصوصی و نیمه خصوصی

برای هماهنگی کلاسهای خصوصی و نیمه خصوصی به شماره 09356816738 اطلاعات خود و کلاس درخواستی را پیامک نمایید.

---

روش های صحیح مطالعه pdf

بخشی از آموزش ویدئویی فارسی مجموعه تقویت حافظه کوانتومی کوثرپرداز ، آموزش تکنیک های میان بر محاسبات سریع ذهنی است. تکنیک هایی که اگر به آنها مسلط شوید می توانید بخش زیادی از محاسبات آزمون ها و امتحان ها و همچنین حساب و کتاب های روزانه زندگی خود را با سرعتی باورنکردنی ،به صورت ذهنی و بدون نیاز به ماشین حساب و چرتکه و ابزارهای کمکی انجام دهید. با این قدرت اعجاب آور شما در همه جا کلاس و مدرسه و بازار ، اطرافیان خود را به حیرت خواهید انداخت و از همه مهم تر قدرت ذهن خود را به جای هدر دادن روی انجام محاسبات وقت گیر ، روی موضوعات کلیدی تر متمرکز خواهید نمود. در اینجا بخشی از این محاسبات میانبر را با هم مرور می کنیم. بقیه این محاسبات را می توانید در ادامه مطلب همین پست دنبال کنید.

******

چگونه ذهنی حساب کنیم

ترفند هایی ساده برای محاسبات سریع ذهنی

 

راه حل ضرب ذهنی اعداد دورقمی زیر ۲۰ کشف شد

با این ترفند ، قادر
خواهید بود هر دو عددی ، از 11 تا 19 را بدون استفاده از ماشین حساب، بسرعت در ذهن خود ضرب کنید. (
البته با فرض اینکه جدول ضرب رو خوب بلد باشید ) در این جا به طور مثال 16 × 19
را آزمایش می کنیم.

عملیات : عدد بزرگتر را با یکان عدد کوچکتر جمع کنید . ( یعنی 25 = 6
+ 19 ) و در جلوی حاصلجمع صفری قرار دهید (250 ) . سپس
یکان دو عد را در هم ضرب کنید و با عدد قبلی جمع
کنید . ( یعنی 54 = 6 × 9 و 304 = 54 + 250 ) جواب ما 304 است.

اگر این عمل را چند بار تکرار کنید به راحتی و در دو سه ثانیه می
تونید ضرب های دورقمی زیر 20 رو حل کنید.

یه روش دیگه هم هست … یکان ها رو با هم جمع کنید و ضربدر 10 کنید
و با ضرب یکان ها جمع کنید و در نهایت بعلاوه ی 100 کنید !!

اینطوری برای اعداد بین 20 و 30 یا بین 30 و 40 یا …. هم میشه
تعمیم داد !مثلا برای 20 تا 30 … یکان ها را با هم جمع کنید و ضربدر 20 کنید
و با ضرب یکان ها جمع کنید و در نهایت بعلاوه ی 400
کنید ! (البته ضربدر 20 کردن یکم سخت تر میشه ..
مخصوصا بیشتر از 30 ها … )

 

 

گاهی اوقات اگر دقت کنید که چه انجام می دهید، الگوریتم های ضربی
میانبر های ضربی زیبایی را به شما معرفی می کنند.

 

از شما می خواهیم که ضرب
های مختلفی را با اعداد 21 و 31 و 41 و 51 و … انجام دهید.
بااین کار شما به زودی به سمت ِ میانبر های زیبای ضربی روان خواهید شد.

 

چگونگی ضرب کردن با بیست و یک : عدد اصلی را
دو برابر کنید و حاصل را در 10 ضرب کنید . سرانجام عدد اصلی را به آن بیافزایید.

چگونگی ضرب کردن با سی و یک :عدد اصلی را
سه برابر کنید و حاصل را در 10 ضرب کنید . سرانجام عدد اصلی را به آن بیافزایید

چگونگی ضرب کردن با  :چهل و یک  عدد اصلی را
چهار برابر کنید و حاصل را در 10 ضرب کنید . سرانجام عدد اصلی را به آن بیافزایید.

 

جمع کردن دو عدد از چپ به راست خیلی سریع تر صورت می گیرد. به جمع زیر دقت کنید:

 

این هم نحوه جمع کردن از چپ به راست برای اعداد سه رقمی :

چگونه ذهنی حساب کنیم

برای تفریق دو عدد هم می توان از شیوه تفریق چپ به راست استفاده کرد:

با استفاده از مکمل اعداد می توان تفریق ذهنی اعداد سنگین تر را نیز سریع انجام داد. به تفریق زیر دقت کنید. در آن از مکمل اعداد استفاده شده است.

از شیوه جادویی محاسبه چپ به راست که دقیقا خلاف روش محاسبه راست به چپی است که در دوره دبستان به ما یاد داده اند می توانیم جمع و تفریق های سنگین را نیز به راحتی با روش ذهنی حساب کنیم:

برای ضرب دو عدد نیز می توان از شیوه محاسبه چپ به راست استفاده کرد.

ویا

و یا برای ضرب دو عدد 88×97:

تکنیکی ساده برای توان دو رساندن اعداد دو رقمی – رقم یکان را از عدد مذکور جمع و تفریق می کنیم و بعد دو عدد حاصل را در هم ضرب و با توان دو رقم یکان مربوطه جمع می کنیم. در زیر برای عدد سیزده به توان دو این کار را انجام داده ایم:

برای توان دو رساندن اعداد دو رقمی دیگر مانند 43 و 52 به شکل زیر عمل می کنیم:

برای رسیدن به فرمول محاسبه از اتحاد ساده زیر استفاده کردیم:

.

11

مثال های بیشتر برای توان دو رساندن اعداد دورقمی به صورت ذهنی و سریع:

کاربران توئیتر یک ترفند ساده برای محاسبه ذهنی درصد به اشتراک گذاشتند.

به گزارش اسپوتنیک، محاسبه درصد در ذهن مخصوصا زمانی که صحبت از اعداد دشوار باشد، کار آسانی نیست. با این حال، کاربران توئیتر با یک ترفند ساده ریاضی به شما کمک می کند تا بدون کمک ماشین حساب و به راحتی یکی از سخت ترین انواع محاسبات را انجام دهید.

ثبت نام و گرفتن اجازه دسترسی کاربران در وبسایت های “اسپوتنیک” از طریق حساب یا حساب های کاربری در شبکه های اجتماعی حاکی از قبول این مقررات خواهد بود.

کاربران ملزم هستند قوانین ملی و بین المللی را رعایت کنند. کاربران موظف هستند با دیگر شرکت کنندگان در بحث ها و خوانندگان محترمانه صحبت کنند.

مدیریت سایت حق دارد کامنت های نوشته شده به زبان های دیگر متفاوت با زبان سایت را حذف کند. چگونه ذهنی حساب کنیم

هرگونه کامنت درج شده درسایت های sputniknews.com به هر زبانی قابل تغییر است.

کامنت های کاربران در حالات زیر حذف می شود:

مدیریت حق دارد در صورت نقض این مقررات دسترسی کاربر به صفحه را مسدود کرده یا حساب کاربری وی را بدون اطلاع دهی از قبل، حذف کند.

کاربر می تواند با برقراری تماس با ناظمان از طریق پست الکترونیکی زیر پیشنهاد احیای حساب / آزاد کردن دسترسی را مطرح کند: moderator.ir@sputniknews.com

نامه باید حاوی نکات زیر باشد:

اگر ناظمان احیای حساب کاربری / آزاد کردن دسترسی را ممکن تشخیص دهند، این کار انجام خواهد شد.

در صورت نقض دوباره مقررات از جانب کاربر، دسترسی دیگر احیا نخواهد شد. برای برقراری تماس با گروه ناظمان به نشانی زیر نامه بنویسید: moderator.ir@sputniknews.com

شما می توانید برای دریافت اطلاعیه های اسپوتنیک مشترک شوید

سریع! ۱۴۶۸۲ در ۵ یا ۷۷ در ۱۴ چند می‌شود؟ آیا می‌توانید مربع ۷۵ را در سه ثانیه محاسبه کنید؟

نه ماشین‌حساب را کنار بگذارید.

باور کنید یا نه، روش‌های سریع و آسان برای انجام این مسائل در سرتان وجود دارد که باعث صرفه‌جویی در وقت، کاغذ و باتری‌های ماشین‌حساب می‌شوید؛ درست است. من قصد دارم اسراری را برای ریاضیات ذهنی باز کنم.

 

میدونم میدونم. شما درحالی‌که به میز تون تکیه می‌زنین و در کیف‌تون دنبال چیزی می‌گردین، به من لبخند زده و می‌گین:«من نمی‌دونم که شما شنیده‌اید، اما ما این ماشین‌های مرموز و جدید را داریم که با آن‌ها حساب می‌کنیم.» و با آن، شما یک صفحه مستطیلی ایجاد می‌کنید و جلوی من به کلیدهای آن می‌زنید.چگونه ذهنی حساب کنیم

در جامعه‌ای با فناوری مانند ما، چرا به ریاضی ذهنی احتیاج دارید؟

خوب، در اینجا چند دلیل عالی وجود دارد.

همیشه بخش‌هایی وجود دارند، همچون کنکور سراسری که ماشین‌حساب‌ها مجاز نیستند. به‌جای گذراندن وقت ارزشمند به ضرب ۱۰۸۲ در ۹، می‌توانید جواب را در نیمی از زمان به دست آورید و تلاش‌های خود را در جای دیگر صرف کنید .

بله، این ماشین‌حساب‌های اسرارآمیز و جدید چیزی فراتر از مفید بودن هستند. اما وقتی بیش‌ازحد به فن‌آوری متکی هستید، می‌توانید احساس کنید که همه‌چیز شروع به لغزش می‌کند. درست است؟ این نمی‌تواند فقط برای من باشد و به همین دلیل است که مردم سودوکو، معما و جدول کلمات متقاطع را انجام می‌دهند. ریاضیات ذهنی فقط یکی دیگر از تمرین‌های مغزی است و قطعاً ارزش تلاش را دارد.

 

صادقانه بگویم، این امری چشمگیر است و باعث می‌شود وقتی شخصی می‌خواهد بداند حاصل‌ضرب ۲۷۳ با ۱۱ چیست، شما احساس می‌کنید مثل یک شخص در یک فیلم جیمز باند هستید و می‌توانید پیش از انجام تایپ کردن شخصی، جواب صحیح را بگویید و این کمی شبیه به یک ترفند جادویی علمی است.

به‌هرحال، مطمئناً علاقه‌مند خواهید بود کمی بیشتر از دنیای مرموز اعداد را یاد بگیرید.

از طریق تمام این تکنیک‌ها، این اصلی‌ترین چیزی است که باید به خاطر بسپارید:

هر ترفند دارای قوانین مختلفی است که باعث می‌شود آن کارایی داشته باشد و شما باید یاد بگیرید بلافاصله با دیدن یک عدد (یا یک جفت عدد) قوانین متناسب با آن را تشخیص دهید.

قبلا هم یه مقاله  عالی در مورد محاسبات سریع ریاضی در سایت قرار داده بودیم.

خیلی خوب. آماده‌اید؟ بیایید شروع کنیم!

 

 

شما کاملاً ضرب اعداد را با ۱۰ می‌دانید ، درست است؟ فقط یک عدد ۰ به انتهای عدد اضافه می‌کنید! خیلی آسان.

اما ادامه بدهیم. در مورد ۱۱ چه می‌کنید؟ … به‌خصوص اگر این عدد، عددی مانند ۶۷ باشد؟ یا ۸۱؟

این کمی پیچیده‌تر به نظر می‌رسد … اما به‌محض یادگیری این ترفند ، مثل آب خوردن خواهد شد.

مراحل زیر ذکرشده است:

 

 

ساده بود، درست است؟

اما ادامه بدهیم؛ اگر عددی که در مرحله ۲ به دست می‌آید چیزی شبیه به ۱۴ یا ۱۸ باشد چه می‌کنید؟ چگونه با چیزی شبیه به آن برخورد می‌کنید ؟

خوب ، این کمی متفاوت است ، اما سخت نیست.

بیایید آن را با ضرب ۸۶ در ۱۱ امتحان کنیم.

باشه. اولین رقم‌ها در مرحله ۱ و ۲ را ببینید؛ شما اولین رقم از مرحله ۱ یعنی ۸ را از ۸۶، دارید و از مرحله ۲ اولین رقم یعنی ۱ را از ۱۴ دارید.

ترفند در اینجا است. باید اولین رقم‌ها را با هم اضافه کنید (مانند جمع در جدول ارزش مکانی که دهگان به رقم صدگان عدد می‌داد.)

درواقع عدد ۹ همان اولین رقم پاسخ شما است. پس‌ازآن، شما درست به مراحل قدیم و آشنا برمی‌گردید.

۴- رقم دوم از مرحله ۲ را در وسط قرار دهید.

خوب، با دقت دنبال کنید رقم اول جدید خود را از مرحله ۳ (۹) بگیرید، رقم دوم را از مرحله ۲ درست در کنار آن (۴) می‌گذارید و پاسخ را با دومین رقم از مرحله ۱ (۶) ببندید.

بنابراین جواب شما ۹۴۶ است.

 

 

اکنون شما می‌توانید هر عدد ۲ رقمی را با ۱۱ در یک‌چشم به هم زدن ضرب کنید!

اما در مورد اعداد سه‌رقمی چطور؟

چگونه ذهنی حساب کنیم

این روند کاملاً شبیه به دورقمی است … اما با کمی پیچ‌وتاب.

به یاد دارید که اولین قدم از روند دورقمی جمع زدن رقم‌های خود عدد بود (به‌عنوان‌مثال: اگر حاصل‌ضرب ۲۶ و ۱۱ را می‌خواستیم، اولین قدم ۸=۶+۲ بود…)

شاید فکر کنید که با یک عدد ۳ رقمی، شما فقط قرار است هر سه رقم را با هم جمع کنید … اما این‌طور نیست.

در عوض، به شماره ۳ رقمی خود فکر کنید … خوب، بیایید در مورد عدد سه‌رقمی مانند دو خواهر که به دنبال برادر کوچک خود هستند، فکر کنیم.

(با من همراه باشید)

مسئله: ۱۱×۳۱۷ را حساب کنید.

بنابراین اینجاست که دو خواهر وارد می‌شوند. عددی که می‌خواهیم روی آن تمرکز کنیم ۳۱۷ است.

۳ مهرسا است. او یک خواهر با موهای طلایی است و بیسکویت‌های جو دوسر را دوست دارد.

۷ درسا است. او قدبلند و باریک با صورتی پر از کک‌ومک است.

آن‌ها هر دو به همراه برادر کوچکشان، پارسا به پارک می‌روند. (او یک‌ساله است.)

برای ضرب کردن درست این خواهران و برادران، باید ابتدا آن‌ها را از هم جدا کنید – اما پارسا را نمی‌توان تنها رها کرد. (به خاطر خدا​​، او فقط یک سال دارِ!)

بنابراین اعداد را از هم جدا کنید … اما یکی از خواهران همیشه باید با پارسا باشد.

۳۱۷

اول مهرسا، پارسا را نگه می‌دارد. بیایید آن دو را با هم جمع کنیم. (۴=۱+۳ )

سپس درسا، پارسا را نگه می‌دارد. (۸=۷+۱ )

هر دو عدد در وسط گیر کرده‌اند … بنابراین عدد نهایی شبیه به این است:

مهرسا، مهرسا نگه‌داشته پارسا، درسا نگه‌داشته پارسا، درسا

یا به‌عبارت‌دیگر: ۳، ۴، ۸، ۷ -> 3487

 

 

به‌راحتی آب خوردن.

 

اوه! باشه. بیایید یه نفس بکشیم.

من که شما را نترساندم، درست است؟ “چراکه من هنوز سه ترفند دیگر برای خواندن شما دارم … به من اعتماد کنید، آن‌ها توضیح ساده‌تری دارند.

برو، یک لیوان آب بخور. کمی استراحت کن…

احساس بهتری دارید؟

برگردیم به کل مسئله ریاضی.

 

این‌یکی بسیار آسان است – با انجام دادن، به خاطر سپردن و توضیح دادن.

برای این مورد، شما به یک عدد دورقمی نیاز دارید که به عدد ۵ ختم شود؛ همچون ۲۵، ۵۵، ۱۵، ۹۵.

چند چیز برای به یاد سپردن:

می‌دانید این یعنی چه؟

به‌عبارتی‌دیگر اگر مربع ۲۵ را بخواهید، در اولین قدم شما باید رقم اول که ۲ است را با یک عدد بالاتر از خودش یعنی ۳ ضرب کنید.

در مجذور کردن ۳۵؟ باید ۴×۳

برای مجذور کردن ۸۵؟ باید ۹×۸

الگوی را می‌بینید؟

سپس، فقط ۲۵ را به آخر اضافه کنید. واقعاً این آسان است.

 

 

اوه این ساده بود، درست است؟ خوب، در اینجا ساده است.

ما قبلاً در مورد ترفند شناخته‌شده برای ضرب اعداد با ۱۰ صحبت کرده‌ایم (یک صفر جلوی عدد اضافه کنید.)

خوب، شما برای ضرب اعدادی بزرگ همچون ۲۴۸۶ یا ۱۸۰۶۷ با ۵ چه ایده‌ای دارید؟

در اینجا یک ترفند ساده دومرحله‌ای وجود دارد که می‌تواند این حاصل‌ضرب را آسان‌تر کند.

درست است؟ بنابراین برای ۲۴۸۶، آن را بر ۲ تقسیم کنید … که به شما ۱۲۴۳ می‌دهد.

سپس فقط ۰ … را به آن اضافه کنید و ۱۲۴۳۰ به دست می‌آورید.

 

 

این آخرین مورد است و از یک مفهوم مشابه بهره می‌برد.

فرض کنید می‌خواهید ۲۳۰ را در ۹ ضرب کنید: این مراحل را دنبال کنید:

فقط صفر اضافه کنید و خود عدد را از آن کم کنید. این‌همه چیزی است که در آن وجود دارد!

 

 

نتیجه

و هر چه بیشتر و بیشتر از این ترفندها یاد می‌گیرید، درک بهتری از ریاضی خواهید داشت … و می‌توانید در مسیرهای بسیاری موفق شوید!

حالا بیرون برو- شمشیرهای ریاضی ذهنی خود را بکش!

 

 

https://student-tutor.com/blog/mental-math-tricks/

 برچسبها 14 تکنیک برای حل سریع مسائل ریاضی محاسبات ذهنی ریاضی

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *

دیدگاه

نام *

ایمیل *

وب‌ سایت

ما بر این باوریم که وجود فضایی برای ارتباط و به اشتراک گذاری علم و تجربه خود با شما علاقه مندان، می تواند باعث پیشرفت دو طرفه شود.ازین رو سعی داریم هر آنچه که می تواند در این زمینه برای شما مفید باشد را برایتان آماده کنیم.هرچند تداوم آموزش همراه با حفظ کیفیت کار آسانی نیست اما در این راه تلاش خود را ضمیمه پشتکارمان می کنیم و هرگز نمی گذاریم کیفیت فدای کمیت شود.

جهت اطلاعات بیشتر از محصولات و دوره های ما با شماره زیر تماس حاصل نمایید :
09397395702

محاسبه ذهنی شامل محاسبات ریاضی تنها با استفاده از توانایی‌های مغز انسان بدون کمک ماشین حساب، کامپیوتر، خودکار یا کاغذ است.
برای نمونه می‌توان از روش‌های محاسبه یاکوف تراختنبرگ و بیل هندلی نام برد.

در این روش عمل محاسبه بدون استفاده از جدول ضرب و صرفاً به وسیله عمل جمع انجام می‌گیرد. به کمک این روش به صورت ذهنی می‌توان به راحتی اعداد بسیار بزرگ را در هم ضرب و جواب صحیح را بدست آورد.

به عنوان مثال برای ضرب ۴۱۳×۱۲ به روش زیر عمل می‌شود:

روش‌هایی که موجب تسهیل عملیات جمع ذهنی می‌شوند همگی زیر دستهٔ این موضوع قرار می‌گیرد. بدین ترتیب روش‌هایی که هیچگونه تشابهی به روش‌های در مدرسه ندارند پدید آمده‌است؛ که سرجمع آن‌ها مطابق زیر است.

بر طبق این روش ابتدا می‌بایست رقم‌هایی که دارای ارزش بالاتری هستند را با هم جمع می‌کنیم (در هر مرحله) در صورتی که مجموع از بالاترین ارزش این مرتبه فزون کند، یک واحد به مرتبهٔ بالایی اضافه می‌شود؛ و همین الگو ادامه و تکرار پیدا می‌کند.

 

داستان 5
 

براي ضرب هر عددي در 5، عدد را بر 2 تقسيم کن و يک صفر مقابل آن بگذار.
 

براي تقسيم هر عدد بر 5 آن عدد را 2 ضرب کن و يک رقم به اعشار برو.
 چگونه ذهنی حساب کنیم

ضرب و تقسيم عددها در 25
 

براي ضرب در 25 دو بار بر 2 تقسيم کن و دو صفر مقابلش بگذار.
 

براي تقسيم بر 25 دو بار در 2 ضرب کن و دو رقم به اعشار برو.
 

براي ضرب در 125 سه بار بر 2 تقسيم کن و سه صفر مقابل آن بگذار.
 

براي تقسيم بر 125 سه بار در 2 ضرب کن و سه رقم به اعشار برو.
 

مجذور کردن عددهايي که يکان آنها 5 است
 

مجذور کردن عددهايي که دهگان آنها 5 است
 

ضرب عددهاي مختلف در عدد 15
 

ضرب عددهاي مختلف در عدد 75
 

دو بار بر دو تقسيم کن، در 3 ضرب کن و دو صفر سمت راستش بگذار.
 

امتحان عمل ضرب
 

ضرب در عدد 11 و …
 

ضرب در عدد 9
 

تقسيم بر عدد 9 و …
 

ضرب يک هاي متوالي
 

الف)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان باشد:
 

ب)تعداد رقم هاي دو عدد يکسان نيست:
 

ضرب دو عدد به وسيله ميانگين آنها
 

مجذور نصف تفاضل دو عدد را از مجذور ميانگين آنها کم کن.
 

در انتها، مروري کلي داريم بر مطالب اين مقاله:
 

 

0